Kurvenschar: ft(x) = tx^3 - x. Auch Ortslinie von Hoch-, Tief- und Wendepunkten

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f. Bestimme die Nullstellen sowie Hoch-, Tief und Wendepunkte und skizziere den Graphen für t=1, t=2 und t=3.



b) f
      t (x) = tx³ - x

Bitte auch die Ortslinie hinzufügen!!!

Answer 1

Kurvenschar: ft(x) = t·x^3 - x

Funktion und Ableitungen

f(x) = t·x^3 - x
f'(x) = 3·t·x^2 - 1
f''(x) = 6·t·x

Symmetrie

f(-x) = -f(x) --> Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = t·0^3 - 0 = 0

Nullstellen f(x) = 0

t·x^3 - x = 0

x·(t·x^2 - 1) = 0

x = 0 oder x = ± √(1/t)

Extrempunkte f'(x) = 0

3·t·x^2 - 1 = 0

x = ± 1/√(3·t)

f(1/√(3·t)) = t·(1/√(3·t))^3 - (1/√(3·t)) = - 2/√(27·t)

Ortslinie der Extrempunkte

3·t·x^2 - 1 = 0
t = 1/(3·x^2)

fE(x) = t·x^3 - x = (1/(3·x^2))·x^3 - x = - 2/3·x

Wendepunkte f''(x) = 0

6·t·x = 0
x = 0

f(0) = 0

Gibt keine Ortskurve der Wendepunkte weil der Wendepunkt nicht von t abhängt.