Bestimmen Sie a und b so, dass Grenzwert = 0

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konstanten \( a \) und \( b \), so dass

$$ \lim \limits_{x \rightarrow −∞}\left(\sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x-b\right)=0 $$

Problem/Ansatz:

Hallo ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir da helfen könntet. Liebe Grüße

Comments

Forme so um, dass du die Näherung √(1+z) ≈ 1+z/2 für kleine z anwenden kannst.

Answer 1

\( \lim \limits_{x \rightarrow −∞}\left(\sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x-b\right)=0 \)

\( \sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x = |x| \cdot \sqrt{{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}-a x \)

Da es um x → -∞ geht kann ich |x| durch -x ersetzen und erhalte

\( -x \cdot (\sqrt{{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} +a) \)

Wenn es für diesen Teil einen Grenzwert für x → -∞ gibt,

ist es von der Form ∞ * 0 , also a=-1 und mit D'Hospital weiter

in der Form :

\( \frac{\sqrt{{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} -1}{\frac{-1}{x}} \)

Ableiten gibt

\( \frac{1}{2 \cdot \sqrt{{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}}\cdot (1-2x^{-1}) \)

Für x → -∞ geht das gegen 0,5 .

Also muss man wählen a=-1 und b=0,5.

sieht so aus: ~plot~ x-0,5+sqrt(x^2-x+1) ~plot~

Comments

Warum lässt du b im weiteren weg?

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PS:

Und die alte Frage: Wie kommt man auf den Ansatz?

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Wenn \( \lim \limits_{x \rightarrow −∞}\left(\sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x-b\right)=0 \) gilt, dann auch

\( \lim \limits_{x \rightarrow −∞}\left(\sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x \right)=b \)

Also sinnvoll, sich erst mal um \( \lim \limits_{x \rightarrow −∞}\left(\sqrt{{x^{2}-x+1}}-a x \right) \) zu kümmern.

Das Ausklammern des x^2 in der Wurzel ist dann ja eher

nicht so ganz ungewöhnlich. Und wenn man erst mal

bei der Form ∞ * 0 ist, ist ja auch D'Hospital nicht mehr fern.