Konvergenz von Reihen: Untersuchen Sie für welche x aus R die folgende Reihe konvergiert: ∑((-1)^k(4k+1)*x^{2k}/4^k)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie für welche x aus R die folgende Reihe konvergiert:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} · (4 k+1) · x^{2 k}}{4^{k}} \)

Als Lösung sollte 2,-2 herauskommen.

Comments

Meinst du damit, dass das Intervall  (-2,2) rauskommt?

für welche x aus R  sind kaum nur 2 Werte.

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Nach meinem Verständnis sollten nur -2 und 2 als Werte rauskommen.

Ich habe das ganze ausmultipliziert und dann in zwei Summen zerlegt.

Auf -2, 2 für x komme ich aber nicht.

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In der Frage wird doch nach dem Konvergenzbereich gefragt vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzbereich und nicht nach der Summe.

Answer 1

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert eine Reihe dann, wenn gilt:$$\left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right| \le q<1$$also:$$\left| \frac { { a }_{ k+1 } }{ { a }_{ k } }  \right| =\left| \frac { \frac { { (-1)^{ k+1 }*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2(k+1) } } }{ { 4 }^{ k+1 } }  }{ \frac { { (-1)^{ k }*(4k+1)*{ x }^{ 2k } } }{ { 4 }^{ k } }  }  \right|$$$$=\left| \frac { (-1)^{ k+1 }*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2(k+1) } }{ { 4 }^{ k+1 } } *\frac { { 4 }^{ k } }{ (-1)^{ k }*(4k+1)*{ x }^{ 2k } }  \right|$$$$=\left| \frac { (-1)*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2 } }{ { 4 } } *\frac { 1 }{ 4k+1 }  \right|$$$$=\frac { (4(k+1)+1)*{ x }^{ 2 } }{ 4*(4k+1) } <1$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }<\frac { 16k+4 }{ 4k+5 } =\frac { 16+\frac { 4 }{ k }  }{ 4+\frac { 5 }{ k }  }$$Für k->∞ ergibt sich: $${ x }^{ 2 }<4$$$$\Leftrightarrow |x|<2$$