Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax^2+bx+c

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax^2+bx+c

Problem/Ansatz:

Welche Funktion hat der Koeffizient b.

Comments

Wenn man bei der Parabel f(x)= a·x^2+c nur den Koeffizienten a verändert, dann bleibt der Scheitelpunkt S (x_s|y_s) erhalten, aber die Form der Parabel ändert sich. (a heißt deshalb auch "Formfaktor".)
Wenn man nur den Koeffizienten c verändert, so bleibt die Form der Parabel erhalten, aber die Lage des Scheitelpunktes (und mit ihm der gesamten Parabel) verschiebt sich und zwar entlang einer Parallelen zur y-Achse mit der Gleichung x=x_s. (c ist der y-Achsenabschnitt der Parabel.)
Das alles weißt du, sonst hättest du ja gefragt.

Wenn man nur den Koeffizienten b verändert, so bleibt die Form der Parabel erhalten, aber die Lage des Scheitelpunktes (und mit ihm der gesamten Parabel) verschiebt sich und zwar entlang einer Parabel mit der Gleichung y=-a·x^2+c.

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... hat die Form ax²+bx+c

Nein, denn das ist keine Gleichung.

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Man kann es auch so sehen: Die Gerade \(y=bx+c\) beschreibt die Tangente an die Parabel an der Stelle \(x=0\). Also gibt \(b\) die Steigung dieser Tangente an. Im Mathematikunterricht wird dies allerdings nicht zusammen mit den quadratischen Funktionen behandelt, sondern erst später. Um sich den Zusammenhang selbst zu veranschaulichen, genügt es, beide Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem zu plotten und den Parameter \(b\) über einen Schieberegler variabel zu machen.

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Klarstellung :
Die Parabelgleichung  f(x)= a·x²+c gilt nur für den ersten Absatz, im zweiten und dritten Absatz ist f(x)=a·x^2+b·x+c, der Scheitelpunkt S=(x_s|y_s) gilt für alle Absätze.

Wird bei der allgemeinen Parabel f(x)=a·x^2+b·x+c nur der Parameter a verändert, so ändert sich sowohl die Form der Parabel als auch die Lage des Scheitelpunktes, der dann auf einer Geraden mit der Gleichung y=b/2·x+c liegt.

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Das alles weißt du, sonst hättest du ja gefragt.

Und warum teilen Sie das dann mit, wenn nicht danach gefragt ist?

Die Aufgabenstellung war eindeutig. Logik??

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...dann bleibt der Scheitelpunkt S(xs|ys) erhalten.

Ich sehe das nicht.

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Füe alle Parabeln mit Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·x^2 + c liegt der Scheitelpunkt bei S = (0|c) , unabhängig von a. Ist jedoch b≠0, so hängt die Lage des Scheitelpunktes von a ab (siehe meinen obigen Kommentar).

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...zwar entlang einer Parabel mit der Gleichung y= ax^2+c

wie kann man diese Gleichung beweisen?

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wie kann man diese Gleichung beweisen?

Gar nicht, aber die von mir angegebene richtige Gleichung y = -ax^2+c lässt sich mittels quadratischer Ergänzung folgendermaßen nachweisen :
f(x) = ax^2+bx+c = a*(x^2+b/a·x)+c = a*(x^2+b/a·x+(b/(2a))^2 - (b/(2a))^2)+c = a*(x+b/(2a))^2 - b^2/(4a)+c , also ist der Scheitelpunkt S = (x_s|y_s) mit x_s = -b/(2a) und y_s = -b^2/(4a)+c. (Narürlich ist genauso y_s = f(x_s) = a*(-b/(2a))^2+b·(-b/(2a))+c = b^2/(4a)-b^2/(2a)+c = -b^2/(4a)+c )
Nun lässt sich  y_s = -b^2/(4a)+c umformen zu y_s = -a*b^2/(4a^2)+c = -a*(-b/(2a))^2+c = -a*x_s^2+c

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Vielen Dank für die Erklärung.

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vielen Dank für die Erklärung.

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Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

hier noch eine Graphik, in der mehrere Aspekte zusammengefasst sind.

Rot: ax^2+bx+c

Grün: bx+c

Gelb: -ax^2+c

:-)

Answer 2

Deine Frage:

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax2+bx+c.
Welche Funktion hat der Koeffizient b?

Verstehe ich so:

Welchen Einfluss hat b auf den Parabelverlauf?

Um dies festzustellen Halte ich a=c=1 fest und verändere b. Dann wandert der Scheitelpunkt der Parabel (farbig) auf der schwarzen Parabel:

Comments

Okay, wie kann man diese Parabelgleichung ermitteln?

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Die erste Ableitung ist f '(x)=2x+b. Für die Scheitelpunkte der Schaar gilt dann b=-2x. Dies setze ich für b in y=x²+bx+1 ein und erhalte y=-x²+1 als Ortslinie aller Scheitelpunkte.

Achtung: Lege a und c auch anders fest und schau dann, was bei Veränderung von b passiert.

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Welche Funktion hat der Koeffizient b?

\(b\) gibt die Steigung der Parabel bei \(x=0\) an:

Den schwarzen Punkt oben im Bild kannst Du vertikal verschieben.

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Vielen Dank!

Answer 3

Eine quadratische Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form

        f(x) = ax²+bx+c.

Der Koeffizient b gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x=0 an.

Grund dafür ist, dass die Funktion g(x) = ax² in einem hinreichend kleinen Bereich um x=0 weitaus näher an der x-Achse verläuft als die Funktion h(x)=bx.

Sei zum Beispiel a=5 und b=0,1. Als hinreichend kleinen Bereich wähle ich die Zahlen von -0,0002 bis 0,0002. Dort ist |b·x| ≥ 100·|a·x²|. Der Funktionswert von g hat dort also praktisch keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen von

        s(x) = ax² + bx.

Mehr zu diesem Thema gibt es wenn du in der Oberstufe Differenzialrechnung kennenlernst.

Comments

Folgendes sollte meiner Meinung nach in jedem Merkheft stehen:

f(x) = a·x^2 + b·x + c

Der Koeffizient b gibt die Steigung der Funktion im Schnittpunkt mit der y-Achse (an der Stelle x = 0) an.

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Vielen Dank!

Answer 4

ax^2+bx+c = a(x^2 +b/a *x + (b/(2a))^2 - (b/(2a))^2) +c = a*(x+(b/(2a))^2) - b^2/(4a) +c

Das b gibt dir Aufschluss darüber, ob die Parabel bezüglich der y-Achse nach links oder nach

rechts verschoben ist, jedoch hängt das auch von a ab.