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Aufgabe:

Wir betrachten die Menge M = Q2 \ {(0, 0)} und definieren darauf die Relation
(a, a0) ∼ (b, b0) :⇔ ∃λ ∈ Q \ {0}: (λ · a = b und λ · a0 = b0).
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Was passiert, wenn wir auch λ = 0 erlauben?


Problem/Ansatz:

Hey,

kann mir jemand hierbei helfen?

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Du musst die Relation auf reflexiv, symmetrisch und transitiv testen.


Reflexiv:

(a,a0)(a,a0)(a,a0) \sim (a,a0)

also1a=aund1a0=a0also \quad 1a=a \quad und \quad 1a0=a0


symmetrisch:

(b,b0)(a,a0)(b,b0) \sim (a,a0)

da

λa=bundλ0gilt1λb=asetzeλ~=1λdanngiltλ~b=a \lambda a=b \quad und \quad \lambda \neq 0 \quad gilt \quad \frac{1}{\lambda}b=a \quad setze \quad \tilde{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \quad dann \quad gilt \quad \tilde{\lambda}b=a

da

λa0=b0undλ0gilt1λb0=a0setzeλ~=1λdanngiltλ~b0=a0 \lambda a0=b0 \quad und \quad \lambda \neq 0 \quad gilt \quad \frac{1}{\lambda}b0=a0 \quad setze \quad \tilde{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \quad dann \quad gilt \quad \tilde{\lambda}b0=a0

also symmetrisch


transitiv:

sei (c,c0)Mmit(b,b0)(c,c0)und(a,a0)(b,b0)(c,c0) \in M \quad mit \quad (b,b0)\sim(c,c0) \quad und \quad (a,a0)\sim(b,b0)

Ausλa=bundλ~b=cfolgtλλ~a=c Aus \quad \lambda a =b \quad und \quad \tilde{\lambda}b=c \quad folgt \quad \lambda \tilde{\lambda}a=c

setzeλλ~=μdanngiltμa=c setze \quad \lambda \tilde{\lambda}=\mu \quad dann \quad gilt \quad \mu a =c

Ausλa0=b0undλ~b0=c0folgtλλ~a0=c0 Aus \quad \lambda a0 =b0 \quad und \quad \tilde{\lambda}b0=c0 \quad folgt \quad \lambda \tilde{\lambda}a0=c0

setzeλλ~=μdanngiltμa0=c0 setze \quad \lambda \tilde{\lambda}=\mu \quad dann \quad gilt \quad \mu a0 =c0
Also(a,a0)(c,c0) Also \quad (a,a0) \sim (c,c0)

LG

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Vielen dank!!

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