Zeigen Sie,dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge M = Q² \ {(0, 0)} und definieren darauf die Relation
(a, a0) ∼ (b, b0) :⇔ ∃λ ∈ Q \ {0}: (λ · a = b und λ · a0 = b0).
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Was passiert, wenn wir auch λ = 0 erlauben?

Problem/Ansatz:

Hey,

kann mir jemand hierbei helfen?

Answer 1

Du musst die Relation auf reflexiv, symmetrisch und transitiv testen.

Reflexiv:

$$(a,a0) \sim (a,a0)$$

$$also \quad 1a=a \quad und \quad 1a0=a0$$

symmetrisch:

$$(b,b0) \sim (a,a0)$$

da

$$ \lambda a=b \quad und \quad \lambda \neq 0 \quad gilt \quad \frac{1}{\lambda}b=a \quad setze \quad \tilde{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \quad dann \quad gilt \quad \tilde{\lambda}b=a$$

da

$$ \lambda a0=b0 \quad und \quad \lambda \neq 0 \quad gilt \quad \frac{1}{\lambda}b0=a0 \quad setze \quad \tilde{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \quad dann \quad gilt \quad \tilde{\lambda}b0=a0$$

also symmetrisch

transitiv:

sei $$(c,c0) \in M \quad mit \quad (b,b0)\sim(c,c0) \quad und \quad (a,a0)\sim(b,b0)$$

$$ Aus \quad \lambda a =b \quad und \quad \tilde{\lambda}b=c \quad folgt \quad \lambda \tilde{\lambda}a=c $$

$$ setze \quad \lambda \tilde{\lambda}=\mu \quad dann \quad gilt \quad \mu a =c$$

$$ Aus \quad \lambda a0 =b0 \quad und \quad \tilde{\lambda}b0=c0 \quad folgt \quad \lambda \tilde{\lambda}a0=c0 $$

$$ setze \quad \lambda \tilde{\lambda}=\mu \quad dann \quad gilt \quad \mu a0 =c0$$
$$ Also \quad (a,a0) \sim (c,c0) $$

LG

Comments

Vielen dank!!