Berechnen Sie die Konvergenzradien R der folgenden Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Konvergenzradien R der folgenden Potenzreihen.

\(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \)\(\large \frac{1}{\large \binom{2n}{n}} \cdot \normalsize x^n\)

Problem/Ansatz:

Hallo es geht um folgende Aufgabe und zwar um genau zu sein ums Kürzen mit Fakultäten. Nach Anwendung des inversen Quotientenkriteriums ergibt sich:

lim n->oo \( \frac{(2n)!}{n!*n!} \) * \( \frac{(2n+1)!}{(n+1)!*n!} \)

Beim Kürzen hier habe ich leider einen Blackout und freue mich über Hilfe dabei.

LG

2n über n soll hier den Binomialkoeffizienten darstellen

Comments

2n über n soll hier den Binomialkoeffizienten darstellen

Dann schreibe es halt als "\binom{2n}{n}" anstatt als "2nübern"

damit es dargestellt wird als \(\large \binom{2n}{n}\) anstatt als \(2nübern \)    :)

Ich habe es geändert.

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Zunächst: Welches Kriterium verwendest Du? Wie bezeichnest Du die Koeffizienten? Welcher Quotient ist demnach zu untersuchen?

Außerdem: 2(n+1)=2n+2

Vielleicht hilft es Dir, die Fakultäten "auszuschreiben":

n!=1*2*3*...*(n-1)*n

Answer 1

Hallo,

Um Deine Frage zu beantworten:

Beim Kürzen hier habe ich leider einen Blackout und freue mich über Hilfe dabei.

Answer 2

$$\left|\frac{1}{{{2n}\choose{n}}}\; : \frac{1}{{{2n+2}\choose {n+1}}}\right|=\frac{(n!)^2\cdot (2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!\cdot (n+1)^2(n!)^2}=\\=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} \to 4$$ für \(n\to \infty\).