Trigonometrische Funktion, Periodenlänge, Nullstellen

Question

ich nocheinmal.

zu der Aufgabe:  g(x) = 2cos(pi/6*x)           x E[0,12]

Gilt für die Periodenlänge :

2*pi/6 x(1) = 0  und    2*pi/6x(2) = 2*pi  ?          Dann x(1) - x(2) ?

Ergibt sich, sofern das richtig sein sollte dann für die Periodenlänge 0 bis 6, wobei 6 dann 2*pi auf

der Koordinate entspricht?

Zusammengerechnet habe ich mir für die Nullstellen: x= k*6  ?!

Wäre demnach die Lösungsmenge: Nullstellen {0,1,2} ???

Ich verzweifele...

Answer 1

Hallo amplitude,

g ( x ) = 2 * cos ( π /6 * x )

Die 2 vor dem Ausdruck cos (...) würde den Funktionswert
um den Faktor 2 in y-Richtung strecken. Der Faktor hat also
keinen Einfluß auf Periodenlänge oder Nullstelle.

Es genügt die Funktion

f ( x )  = cos ( π /6 * x )

zu untersuchen. Wie du richtig erkannt hast liegt
zwischen  cos(0) und cos(2 * π ) die Periodenlänge:

Die Periodenlänge ist also 12.

Die Nullstellen des cos liegen bei π / 2 und
3/2 * π. Umgerechnet ergibt sich
x = 3 und x =9 im Definitionsbereich.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

Comments

Hallo Georg,

Super! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Nach einer durchwachten Nacht bin ich für die Nullstellen auf das selbe Ergebnis gekommen und war mir bis zu deiner Antwort aber unsicher...

Jetzt geht´s leider noch um die Extrem-und Wendepunkte und daher noch die Frage.

Die 1.Ableitung hab ich so bisher berechnet und weiß nicht weiter:

g´(x)= 2*(-sin(pi/6*x)) * pi/6
g`(x)= -2*pi/6 *sin(pi/6*x)   stimmt diese Ausgangslage? Wie komme ich weiter ?



VG Amplitude

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Hallo Amplitude,

g` ( x ) = -2 * π/6 * sin( π/6 * x )

Extrempunkt : g ´( x ) = 0
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens einer
der Faktoren null ist. Hier

sin ( π / 6 * x ) = 0
Im Def-Bereich bei sin ( 0 ) = 0 und sin ( π ) = 0
π / 6 * x  = 0
x = 0

π / 6 * x  = π
x = 6

Wendepunkte
2.Ableitung
g´´ ( x ) = -2 * π/6 * cos( π/6 * x ) * π/6
g´´ ( x ) = -2 * (π/6)^2 * cos( π/6 * x )
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens einer
der Faktoren null ist. Hier
cos( π/6 * x ) = 0
Im Def-Bereich bei cos ( π/2 ) = 0 und cos ( 3*π/2 ) = 0
π/6 * x = π/2
x = 3
π/6 * x = 3* π/2
x = 9
Das heißt die Nullstellen sind auch die Wendepunkte.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

In dem Funktionsterm der Funktion:

g ( x ) = a * cos ( b ( x + c ) ) + d 

ist

a die Amplitude,

2 π / b die Periodenlänge,

c die horizontale Verschiebung nach links (bei negativem c nach rechts) und

d  die vertikale Verschiebung nach oben ( bei negativem d nach unten).

Vorliegend ist

g ( x ) = 2 * cos ( ( π / 6 ) * x ) = 2 * cos ( ( π / 6  ) * ( x + 0 ) ) + 0

also:

Amplitude: 2

Periodenlänge: 2 π / ( π / 6 ) = 12

Horizontale Verschiebung: 0

Vertikale Verschiebung: 0

 

Nullstellen:

Die Funktion cos ( x ) hat die Nullstellen

x = ( π / 2 ) + k * π , k ∈ Z

Somit hat die Funktion

g ( x ) = 2 * cos ( ( π / 6 ) * x )

dort Nullstellen, wo gilt:

( π / 6 ) * x = ( π / 2 ) + k * π

<=> x = ( 6 / π ) * ( ( π / 2 ) + k * π ) = 3 + 6 k 

Beispiele für Nullstellen sind für k = - 1, k = 0 , k = 1 , k = 2:

x = - 3 , x = 3 , x = 9 , x = 15

Im Intervall [0,12] liegt also genau eine Periode von g sowie die Nullstellen x = 3 und x = 9.

 

Und so sieht der Graph von g ( x ) im vorgegebenen Intervall aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2cos%28%28pi%2F6%29x%29+from0to12

An ihm lassen sich die Ergebnisse gut nachvollziehen.

Comments

Als Ergänzung bzw. zum Üben kann man die Mathe-Programme zu den Trigonometrischen Funktionen hier verwenden: https://www.matheretter.de/wiki/sinusfunktion#p

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  Die Erklärung und der Graph sind super!

Beschäftige mich rund um die Uhr mit der Aufgabe und bin froh zumindest die Nullstellen genauso errechnet zu haben!

Für die Extremstellen und Wendepunkte benötige ich ja die Ableitungen,

g´(x)= 2*(-sin(pi/6*x)) * pi/6
g`(x)= -2*pi/6 *sin(pi/6*x)   stimmt diese Ausgangslage?

Mein x-wert konnte ich so nicht ermitteln und dann auch keine 2.Ableitung...Wie komme ich weiter ?

Danke