Berechnung Nullstellen trigonometrische Funktion

Question

Ich habe eine Frage zu der Berechnung von Nullstellen bei trigonometrischen Funktionen.

Ich muss die Ableitung f'(x) = -4xpi * cos(2pi/1+x^2) nullsetzen, aber wie finde ich da die Nullstellen?

Ich weiß, dass dabei entweder die Koeffizienten, also -4xpi, null betragen müssen oder cos(2pi/1+x^2), nur weiß ich nicht, wie ich herausfinde, wo die Nullstellen bei diesem Cosinusausdruck liegen und wie ich sie berechne.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Hallo Jonas,

lautet die Ableitung $$f'(x) = -4 x \pi \cdot \cos\left( \frac {2\pi}{1+x^2} \right)$$?

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Ja, genau. Und da ich die Extremstellen berechnen muss, muss die Ableitung 0 ergeben.

Answer 1

Hallo Jonas,

damit ein Ausdruck wie $$\cos\left( \frac {2\pi}{1+x^2}\right)$$ zu \(0\) wird, muss das Argument des Cosinus ein ganzzahliges Vielfaches von \(\pi\) plus \( \pi/2\) sein. Also gilt $$ \begin{aligned}\frac {2\pi}{1+x^2} &= \left( k + \frac 12\right) \pi , \quad k \in \mathbb Z \\ \frac{2}{k + \frac 12} &= 1 + x^2 \\  \frac{4}{2k+1} - 1 &= x^2 \\ x &= \pm \sqrt{\frac{4}{2k+1} - 1}, \quad k \in \mathbb Z \end{aligned}$$da der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ werden darf, bleiben nur die Werte $$k \in \{0, \, 1\}$$übrig. damit gibt es neben \(x=0\) noch vier weitere Lösungen für \(x\).

~plot~ cos(2*pi/(1+x^2)) ~plot~

wie obiger Plot zeigt.

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Vielen, vielen Dank, das hat mir unheimlich weitergeholfen!

Answer 2

Satz von Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

also 0=-4*x*pi → x=0

dann,wenn 0=cos(2*pi/1*x²)

f(x)=cos(x)

Nullstellen bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3...

Extrema bei x=k*pi mit k=0,1,2,3..

Wendepunkte x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..

1.te Nullstelle bei 2*pi+x²=pi/2+0*pi=pi/2

x²=pi/2-2*pi=1/2*pi-4/2*pi=-3/2*pi

x1,2=+/-Wurzel(-3/2*pi) geht nicht → keine reelle Lösung,weil der Radikand (-3/2*pi)<0 ist  dann nur 2 konjugiert komplexe Lösungen

z1=0+i Wurzel(3/2*pi) und z2=0-i Wurzel(3/2*pi) siehe Mathe.Formelbuch,komplexe Zahlen

~plot~cos(x);[[-5|5|-2|2]];x=pi/2;x=pi/2+pi~plot~

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Vielen Dank!