Aufgabe:
Wie muss man die Höhe h und den Radius r einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von 1000 Liter hat und die Oberfläche minimal wird?
1. Geben Sie die Formel der Höhe in Abhängigkeit vom Radius an.
2. Die Oberfläche des Zylinders hängt von der Höhe h und dem Radius r ab. Geben Sie die Formel für die Oberfläche O nur in Abhängigkeit von dem Radius r an.
3. Sei r_0 der berechnete Radius. Wie kann argumentiert werden, dass r_0 eine Minimalstelle ist
a) O'(r_0)=0 und O''(r_0)>0
b) r_0 ist die einzige Extremstelle und O'(r) wechselt an der Stelle r_0 das Vorzeichen von positiv zu negativ
c) r_0 ist die einzige Extremstelle und O'(r) wechselt an der Stelle r_0 das Vorzeichen von negativ zu positiv
4. Geben Sie den Radius r_0 und die Höhe h_0, für die die Oberfläche des Zylinders minimal ist, an. Runden Sie dabei auf ganze Millimeter.
Problem/Ansatz:
zu 1. $$h = \frac{1000}{r^2*pi}$$
zu 2. $$O(r)= 2*pi*r*(r*\frac{1000}{r^2*pi})$$
zu 3. nur a) ausgewählt
zu 4. Da muss ich ja die erste Ableitung von O(r) bilden und diese gleich 0 setzen.
Dann bekomme ich als Ergebnis r=12.6 dm
