Aufgabe:
Text erkannt:
Wie muss man die Höhe \( h \) und den Radius \( r \) einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von 50 Litern hat und die Oberfläche minimal ist?
a. Geben Sie die Formel für die Höhe \( h \) in Abhängigkeit vom Radius \( r \) an.
\( h=(50) /\left(p i^{*} \mathrm{r}^{\wedge} 2\right) \)
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( \frac{50}{\pi \cdot r^{2}} \)
In Ihrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( [r] \)
b. Die Oberfläche des Zylinders hängt von der Höhe \( h \) und dem Radius \( r \) ab.
Geben Sie die Formel für die Oberfläche \( O \) nur in Abhängigkeit von dem Radius \( r \) an.
\( O(r)=2^{*} \mathrm{pi}^{*} \mathrm{r}^{\wedge} 2+100^{*} \mathrm{r}^{\wedge}-1 \)
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( 2 \cdot \pi \cdot r^{2}+100 \cdot r^{-1} \)
In Ihrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( [r] \)
c. Sei \( r_{0} \) der von Ihnen berechnete Radius. Wie argumentieren Sie, dass \( r_{0} \) eine Minimalstelle ist?
\( \mathrm{A}: O^{\prime \prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime \prime \prime}\left(r_{0}\right) \neq 0 \)
B: \( O^{\prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime \prime}\left(r_{0}\right)<0 \)
C: \( r_{0} \) ist die einzige Extremstelle und \( O^{\prime}(r) \) wechselt an der Stelle \( r_{0} \) das Vorzeichen von postitiv zu negativ.
D: \( r_{0} \) ist die einzige Extremstelle und \( O^{\prime}(r) \) wechselt an der Stelle \( r_{0} \) das Vorzeichen von negativ zu positiv.
\( \mathrm{E}: O^{\prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime \prime}\left(r_{0}\right)>0 \)
d. Geben Sie die optimalen Parameterwerte \( r_{0} \) und \( h_{0} \) näherungsweise an.
Hinweis: Runden Sie die Ergebnisse jeweils auf eine Genauigkeit von einem Millimeter.
\( r_{0} \approx \quad m m h_{0} \approx \square m m \)
Problem/Ansatz:
Ich wollte nachfragen, ob der a und b richtig ist und ob mir jemand mit Aufgabe c und d weiterhelfen kann, da ich den Rest der Aufgabe nicht verstehe.
