Zeigen Sie, dass die Ortsverktoren linear unabhängig sind

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \( A(0|-2| 1), B(3|4| 3), C(5|2| 6) \) und der von \( \mathrm{k} \) abhängige Punkt \( \mathrm{P}_{\mathrm{k}}(1+\mathrm{k}|1-5 \mathrm{k}| 1+3 \mathrm{k}) \) gegeben \( (\mathrm{k} \in \mathbf{R}) \).

Zeigen Sie, dass die Ortsvektoren \( \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}} \) und \( \overline{\mathrm{OC}} \) linear unabhängig sind. Stellen Sie den Ortsvektor des Punktes \( \mathrm{R}(1|2| 2) \) als Linearkombination der Vektoren \( \overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}} \) und \( \overline{\mathrm{OC}} \) dar.

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass die Ortsvektoren OA, OB und OC linear unabhängig sind. Stellen Sie den Ortsvektor des Punktes R(1 | 2 | 2) als Linearkombination der Vektoren OA, OB und OC dar.

r·[0, -2, 1] + s·[3, 4, 3] + t·[5, 2, 6] = [1, 2, 2]

Hier gibt es die eindeutige Lösung r = 2 ∧ s = 2 ∧ t = -1. Damit ist zunächst gezeigt das die Vektoren linear unabhängig sind und zum anderen das gilt:

R = 2·OA + 2·OB - OC