Bestimmen Sie alle Lösungen des obigen LGS.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das LGS
\( \begin{aligned} 4 w+2 x+3 y+z & =2 \\ w+x+y+z & =1 \\ 2 x+y+3 z & =2 \end{aligned} \)
1. Schreiben Sie das LGS in der Form \( A x=b \) mit einer Matrix \( A \) und einem Vektor \( b \).
2. Bestimmen Sie alle Lösungen des obigen LGS.
3. Was ist der Kern von \( A \) ?

Problem/Ansatz:

Ich habe für 1. das raus:

\( \begin{array}{l}\begin{array}{l}4 w+2 x+3 y=2 \\ w+x+y+z=1 \\ 2 x+y+3 z=2\end{array} \\ A=\left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right) \quad b=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}w \\ x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 16\end{array}\right)\end{array} \)

Ist das richtig? Und wenn ja, wie komme ich bei 2. auf die Lösungen? Weil es ja keine 3x3 Matrix ist

Answer 1

Schreibt man ja oft auch in der Art

(Aber mit deiner 16 stimmt doch was nicht ? )

\(  \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 & |2\\ 1 & 1 & 1 & 1&|1 \\ 0 & 2 & 1 & 3&|2\end{array}\right) \)

Dann 4*2.Zeile minus 1. Zeile

\(  \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 & |2\\ 0 & 2 & 1 & 3&|2 \\ 0 & 2 & 1 & 3&|2\end{array}\right) \)

Dann 3. minus 2.

\(  \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 & |2\\ 0 & 2 & 1 & 3&|2 \\ 0 & 0 & 0 & 0&|0\end{array}\right) \)

und die letzte Gleichung zeigt:

y und z sind beliebig wählbar und dann

2x = 2 -y - 3z also x= 1 -0,5y - 1,5z

und 4w = 2 - 2x -3y - z =2 - ( 2 -y - 3z)  -3y - z = -2y+2z

    ==>  w =  -0,5y+0,5z

also Lösungen ( -0,5y+0,5z ,   -1 -0,5y - 1,5z ,   y , z)^T

 = ( 0 , -1 , 0, 0 )^T+y ( -0,5 , -0,5 , 1, 0 )^T+z ( 0,5 , - 1,5 , 0 , 1 )^T

Basis vom Kern also

(  ( -0,5 , -0,5 , 1, 0 )^T , ( 0,5 , - 1,5 , 0 , 1 )^T )

Comments

\( \begin{array}{l}\left(\begin{array}{llll|l}4 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 2\end{array}\right) \stackrel{4 II-I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{llll|l}4 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 2\end{array}\right) \stackrel{\mathbb{III}-\mathrm{II},}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{llll|l}4 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \\ 2 x+y+3 z=2 \quad \mid-y-3 z \\ 2 x=2-y-3 z \\ 2 x=2-y-3 z \quad \mid \cdot 2 \\ x=1-\frac{1}{2} y-\frac{3}{2} z \\ 4 w=2-2 x-3 y-z \\ 4 w=2-2 \cdot\left(1-\frac{1}{2} y-\frac{3}{2} z\right)-3 y-z \\ 4 w=2-2+1 y+3 z-3 y-z \\ 4 w=2 y+2 z \\ w=\frac{1}{2} y-\frac{1}{2} z\end{array} \)

Habe das so und komme auf ein anderes Ergebnis

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Ich hatte mich ja bei der einen 2 vertippt und -2 genommen.

Aber die letzte Zeile ist doch: Alles 0.

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Stimmt, da habe ich mich verrechnet. Aber ich komme dennoch auf ein anderes x und w.
du hast mit den -2 gerechnet oder?

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Habs versucht zu korrigieren.

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Super, vielen Dank!

Kannst du mir noch verraten, wie man auf den Kern kommt?

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Rechne einfach mit b=0-Vektor.

Dann hast du am Ende

\(  \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 & |0\\ 0 & 2 & 1 & 3&|0 \\ 0 & 0 & 0 & 0&|0\end{array}\right) \)

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Das verstehe ich leider nicht.

Soll ich das dann einfach nochmal genauso lösen?

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Wenn du das auflöst, ist es ähnlich wie oben

y und z sind beliebig wählbar und dann

2x =  -y - 3z also x=  -0,5y - 1,5z

und 4w =  - 2x -3y - z = - (  -y - 3z)  -3y - z = -2y+2z

  ==>  w =  -0,5y+0,5z

also Lösungen ( -0,5y+0,5z ,  -0,5y - 1,5z , y , z)T

= y ( -0,5 , -0,5 , 1, 0 )T+z ( 0,5 , - 1,5 , 0 , 1 )T

Basis vom Kern also

(  ( -0,5 , -0,5 , 1, 0 )T , ( 0,5 , - 1,5 , 0 , 1 )T )

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Danke!

Jetzt habe ich noch die Aufgabe, mit den Ergebnissen die Determinante von A zu bestimmen.

Welche Ergebnisse sind da gemeint? Weil die Matrix A ist ja keine quadratische Matrixe und somit kann ich ja keine Determinante berechnen oder?

Answer 2

Hallo

1. A ist richtig, aber bei Ax=b warum schreibst du nicht b hin sondern (2,0,16)^T?

2. Lösung mit Gauss, dabei musst du  mindestens eine Variable z.B z=r oder (und) y=s   beliebig nehmen, dadurch hast du viele Lösungen .

3. A*x=0 gibt den Kern.

Bemerkung, leichter zu lösen, wenn du deine 2te Zeile mit der ersten tauschst

Gruß lul

Comments

warum schreibst du nicht b hin sondern (2,0,16)T?

\( \left(\begin{array}{llll}4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}w \\ x \\ y \\ z\end{array}\right)=b \)

So?

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Hallo

ich meinte das richtige b, wie mathelf dir geschrieben hat.

lul

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Hallo, jetzt weiß ich was gemeint war. Habe nicht gesehen, dass ich zwei verschiedene b‘s geschrieben hatte