Wronski-Determinante mit Vektoren

Question

Aufgabe:

Von einem linearen homogenen DGL-System 1. Ordnung im \( \mathbb{R}^{4} \) für \( t \in \mathbb{R} \) seien vier Lösungen gegeben:

\( \vec{y}_{1}(t):=\left(\begin{array}{c} 2 e^{t} \\ 4 \\ 2 \\ 4 \sinh (t) \end{array}\right), \quad \vec{y}_{2}(t):=\left(\begin{array}{c} e^{t} \\ 2 \\ 5 \\ 2 \cosh t \end{array}\right), \quad \vec{y}_{3}(t):=\left(\begin{array}{c} 2 e^{-t} \\ 6 \\ 2 \\ 2 e^{-t} \end{array}\right) \quad \vec{y}_{4}(t):=\left(\begin{array}{c} 2 \cosh (t) \\ 5 \\ 2 \\ e^{t} \end{array}\right) \)
Berechnen Sie die Wronski-Determinante und entscheiden Sie, ob die Lösungen \( \vec{y}_{1}, \vec{y}_{2}, \vec{y}_{3} \) und \( \vec{y}_{4} \) linear abhängig sind.

Problem/Ansatz:

Also, Ich habe folgendes gemacht:

1. Schritt Dimension von Matrix bestimmen, in diesem fall 4x4

2. Schritt Matrix ausfüllen im format (x y z , x´ y´ z´, x´´ y´´ z´´)

3. Schritt Determinante berechnen mit Laplace- entwicklung

Meine Problem: Ich bin mir nicht sicher wie das alles mit Vektoren in einer Matrix funktioniert. Also wie nehme ich da die erste und zweite Ableitung und schreibe sie in eine Matrix ( wird das nicht überdimensional groß?)

Ich hatte die erste ableitung benutzt welches die zweite und dritte spalte zu = 0 führte, was mir persönlich auch nix gebracht hat.

Ich bitte um Hilfe für die Anleitung für diese Aufgabe

Answer 1

hallo,

Dieser Weg ist richtig:

1. Schritt Dimension von Matrix bestimmen, in diesem Fall 4x4

2. Schritt Matrix ausfüllen im Format (x y z , x´ y´ z´, x´´ y´´ z´´,x''' ,y''' ,z''')

3. Schritt Determinante berechnen mit Laplace- entwicklung

allgemein:

W(t) ≠ 0 linear unabhängig

W(t)= 0  linear abhängig

Berechnung für y1(t):

Laplace:(Entwicklung nach der 2.Spalte)

\( =(-4)\left|\begin{array}{lll}2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \sinh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x)\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{lll}2 e^{x} & 2 & 4 \sinh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \sinh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x)\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{lll}2 e^{x} & 2 & 4 \sinh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x)\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{lll}2 e^{x} & 2 & 4 \sinh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \cosh (x) \\ 2 e^{x} & 0 & 4 \sinh (x)\end{array}\right| \)

 =0