Kompaktheit und Stetigkeit

Question

Aufgabe: Sei X ⊂ R eine nicht kompakte Teilmenge. Beweisen Sie: Es
existiert eine stetige beschränkte Funktion f : X → R, sodass es kein x ∈ X gibt mit
f(x) = inf _y∈X {f(y)}

Wisst ihr wie man diese Aufgabe beweisen kann?

Answer 1

Die Aufgabe verlangt von die ein Gegenbeispiel zu finden, welches zeigt, wie der Min/Max Satz scheitern kann, wenn der Definitionsbereich nicht kompakt ist.
Nimm also z.B. \( f\colon ( 0, 1) \to \mathbf{R} \) mit \( f( x)  = x\). Dann gilt
\(\begin{aligned} \inf_{ x \in ( 0, 1) } f( x) = 0 \end{aligned}\)
aber \( f( x) > 0\)  für alle \( x \in ( 0, 1) \).

Comments

Dankeschön :). Könntest du bitte, das näher erklären, wie man den Gegenbeispiel zeigen kann?

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Das ist jetzt deine Aufgabe: Du musst \(\inf_{x \in (0, 1)} f(x) = 0\) beweisen.

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Okay sehr gut, vielen lieben Dank :)

Answer 2

Ich verstehe die Aufgabenformulierung so, dass für jede nicht-kompakte Menge die Existenz einer solchen Funktion nachgewiesen werden soll.

Wenn also \(X \sub \R\) nicht kompakt ist, dann ist es nicht abgeschlossen. Daher existiert ein \(z \in \partial X \setminus X\). Dann geht doch

$$f(x):=\min\{1,|x-z|\}$$

Oder?