Komplexe Zahlen: z^4 + 2·(2·√2 - 2·√2·i)·z^2 - 16·i = 0

Question

Aufgabe:

z^4 + 2·(2·√2 - 2·√2·i)·z^2 - 16·i = 0

Ich bräuchte die Lösung dieser Aufgabe:

Comments

\( \sqrt{2} * i\)  oder  \( \sqrt{2i} \)  ?

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√2i

also die 2i in der Wurzel

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Falls die Aufgabe so \(z^4+2(2\sqrt2-2\sqrt2\,\mathrm i)z^2-16\mathrm i=0\) lautet:
Links steht ein Binom: \((z^2+2\sqrt2-2\sqrt2\,\mathrm i)^2=0\).

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Da einer der Redakteure es offenbar für dringend notwendig erachtet, die ursprüngliche Fragestellung ohne jegliche Kennzeichnung mehrfach nach Belieben zu verändern, macht der erste Teil meines obigen Kommentars keinen Sinn mehr. Herzlichen Dank dafür.

Answer 1

Das sollte wie folgt aussehen:

$$x^2 + 2·(2·√2 - 2·√2·i)·x - 16·i = 0 \newline x = - (2·√2 - 2·√2·i) \pm \sqrt{(2·√2 - 2·√2·i)^2 + 16·i} \newline x = - (2·√2 - 2·√2·i) \pm \sqrt{(8 - 16·i - 8) + 16·i} \newline x = - (2·√2 - 2·√2·i) \newline x = - 2·√2 + 2·√2·i \newline x = 2·√2·(i - 1) \newline z^2 = 2·√2·(i - 1) \newline z^2 = 2·√2·√2·e^{\frac{3}{4}·\pi·i} \newline z^2 = 4·e^{\frac{3}{4}·\pi·i} \newline z_1 = 2·e^{\frac{3}{8}·\pi·i} \newline z_2 = 2·e^{\frac{7}{8}·\pi·i}$$

Comments

Sehr schön lieber der Mathecoach. Vielen lieben Dank!!

Answer 2

\(z^4 + 2 *(2 \sqrt{2}  -2- 2\sqrt{2i}  ) z^2 – 16 i = 0\)

\(z^4 + 2 *(2 \sqrt{2}  -2- 2\sqrt{2i}   ) z^2 = 16i\)

Die Zeile ist geändert, weil sie falsch war:

\([z^2+(2 \sqrt{2}  -2- 2\sqrt{2i})]^2= 16i+(2 \sqrt{2}  -2- 2\sqrt{2i})^2\)

u.s.w.

Comments

Kommt nach dem usw. noch etwas?

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Da erwarte ich von dir, dass du weiter machst.

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Wie du deine letzte Gleichung vor dem u.s.w. nach \(z\) auflösen willst, hätte ich auch gerne mal gesehen.

Answer 3

Substituiere: z^2 = x

pq-Formel anwenden

Comments

Ich habe jetzt

$$x^2+2(2 \sqrt2-2\sqrt2i)x-16i=0$$

$$\frac{-2(2\sqrt2-2\sqrt2i)}{2}+- \sqrt{\frac{(2\sqrt2-2\sqrt2i)^2}{4}+16i}$$

$$\frac{-4 \sqrt2+4\sqrt2i}{2} +- \sqrt{8-8i}$$

Weiter komme ich nicht

Kann das jemand?

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Ist die erste Zeile nicht bereits verkehrt? Wo ist die -2 geblieben?

x^2 + 2·(2·√2 - 2 - 2·√(2·i))·x - 16·i = 0

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Oh, das habe ich gar nicht gesehen bei mir in der Aufgabe steht da kein -2

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Und bei dir heißt es auch nicht \(\sqrt{2\mathrm i}\), sondern \(\sqrt2\,\mathrm i\).