Bestimmen Sie den Punkt auf der Parabel y² = 2x der am nächsten zu dem Punkt (1,4) liegt.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Punkt auf der Parabel y² = 2x der am nächsten zu dem Punkt (1,4) liegt.

Problem/Ansatz:

Die Lösung sollte der Punkt (2,2) sein aber ich komme einfach nicht drauf.

Ich füge meine parabel und den punkt 1,4 in diese formel ein

f(x)=(2x-4)²+(x+1)²

nachdem ausklammern erhalte ich

5x²-14x+17

wenn ich das nun ableite erhalte ich 10x-14 und dann erhalte ich 1,4 für die nullstelle.

wenn ich die 1,4 in die stammfunktion einfüge bekomme ich ein anderen y wert.

wie komme ich auf die richtige lösung, könnt ihr mir bitte weiterhelfen und sagen wo mein fehler ist?

VG

Comments

wo mein fehler ist?

Die von dir mit f bezeichnete Funktion soll wohl das Quadrat des Abstandes von (1|4) zu einem Punkt (x|y) auf dem Graphen der Funktion darstellen. Dazu muss es aber erstens y-4 und nicht y^2-4 und zweitens x-1 und nicht x+1 heißen.

Answer 1

Hier noch eine Lösung (Lagrange) mit Kanonen und Spatzen:

Minimiere \(f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2\)

mit Nebenbedingung \(g(x,y)=y^2-2x=0\).

\(\nabla f=(2x-2,2y-8)=\lambda \nabla g=\lambda(-2,2y)\).

Da (1,4) nicht auf der Parabel liegt, ist \(\lambda\neq 0\), also

\(\frac{2y-8}{2x-2}=-y\iff xy=4\). Zusammen mit \(2x=y^2\)

ergibt dies \((x,y)=(2,2)\).

Answer 2

Hallo,

der Abstand zum Quadrat ist

(x-1)^2+(y-4)^2

(0.5y^2-1)^2 + (y-4)^2

\( d(y)=0.25 y^{4}-8 y+17 \)

\( d'(y)=y^{3}-8\)

usw.

Answer 3

y^2 = 2·x → x = 0.5·y^2

Der Abstand zum Quadrat ist

d^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2
d^2 = (0.5·y^2 - 1)^2 + (y - 4)^2
d^2 = (0.25·y^4 - y^2 + 1) + (y^2 - 8·y + 16)
d^2 = 0.25·y^4 - 8·y + 17

Ableitung Null setzen um den Abstand zu minimieren

(d^2)' = y^3 - 8 = 0 --> y = 2

Jetzt noch die x-Koordinate berechnen

x = 0.5·2^2 = 2

Der Punkt (2 | 2) auf der Parabel hat den kleinsten Abstand zum Punkt (1 | 4)

Skizze

Comments

Alternative :
Der obere Zweig der Parabel hat die Funktionsgleichung p(x)=√(2x) und die Ableitung p'(x)=1/√(2x). Die Normale an der Stelle x=a hat somit die Gleichung n_a(x) = -1/p'(a)*(x-a)+p(a) = -√(2a)*(x-a)+√(2a) und verläuft für minimalen Abstand durch (1|4) , was zur Bestimmungsgleichung -√(2a)*(1-a)+√(2a) = 4 für a und somit auf √(2a)*a=4 also a=2 führt.