Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung.

Question

Aufgabe:

Funktionsgleichung 3. Grades bestimmen und maximal Wert zum bestimmten Zeitpunkt …

Problem/Ansatz:

wie löse ich das Aufgabenblatt? Bitte mit Rechenweg. Ich habe die zum Teil die Gleichungen bestimmen können aber verstehe nicht, wie ich den Wendepunkt berechne und die Gleichung somit auflöse.

Text erkannt:

Mathematik HBF MO
Lemsituation 9
Obungsaufgaben
Aufgabe 3
Eine Kletterhortensie ist ein sogenannter Haftwurzler und kann bis zu 5 Meter hoch werden. Nachdem sie im ersten Jahr mithilfe einer Kletterhilfe wächst, klettert sie in den weiteren Jahren komplett selbständig an Wänden, Bäumen und Pergolen hoch. Sie überzeugt mit schönen glänzenden dunkelgrünen Blättern. Zudem wächst sie sehr üppig. Eine Funktion, die die Wachstumsrate der Kletterhortensie beschreibt, ist im folgenden Koordinatensystem abgebildet: (Wachstumsgeschwindigkeit) in \( \mathrm{cm} \) pro Jahr.
a) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung. Kontrollergebnis: \( w(t)=\frac{1}{10} t^{3}- \) \( 3 t^{2}+22.5 t, t \epsilon[0 ; 15] \)
b) Berechnen Sie die Höhe der Pflanze zum Zeitpunkt ihres maximalen Wachstums und die Höhe der ausgewachsenen Pflanze.

Comments

Hallo,

du sollst eine ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen.

w(t)= ax^3+bx^2+cx+d

Dazu sollst du die markierten Punkte verwenden.

Du brauchst vier Bedingungen, da vier Variablen gesucht sind.

w(0)=0

w(5)=50

w'(5)=0

w(15)=0

(oder w(10)=...)

Bei b) musst du w(t) integrieren.

Einmal von 0 bis 5 und einmal von 0 bis 15.

Nun kannst du es erst einmal selbst versuchen oder du wartest, bis auf magische Weise hier die vollständige Lösung erscheint.

:-)

Answer 1

w(t) = ax^3+bx^2+cx+d
w´(t) = 3a* x^2 + 2b*x + c

Dazu sollst du die markierten Punkte verwenden.
Du brauchst vier Bedingungen, da vier Variablen gesucht sind.

w(0)=0
w(5)=50
w'(5)=0
w(15)=0

w(0) = a*0^3+b*0^2+c*0 + d = 0 -> d = 0
w(t) = ax^3+bx^2+cx+d
w´(t) = 3a* x^2 + 2b*x + c
w ´( 5 ) = 3a* 0^2 + 2b*0 + c = 0 -> c = 0

w(t) = ax^3+bx^2+cx+d = ax^3+bx^2

w(5) = a*5^3+b*5^2 =  50
w(15) = a*15^3+b*15^2 = 0

a*5^3+b*5^2 =  50
a*15^3+b*15^2 = 0

Lineares Gleichungssytem lösen.
Ich hoffe ich habe bis hierhin alles richtig gemacht.

Answer 2

Einfache Nullstelle im Ursprung, doppelte Nullstelle \(N(15|0)\), \(H_p(5|50)\):

\(f(t)=a*t*(t-15)^2\)

\((f(5)=a*5*(5-15)^2=500a=50\)    →  \(a=\frac{1}{10}\)

\(f(t)=\frac{1}{10}*t*(t-15)^2\)