Summation zweier Summenzeichen

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Zeige, dass}\sum \limits_{k=1}^{\ n}k + \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=n^{2} $$

Ansatz:

$$ \sum \limits_{k=1}^{\ n}k + \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}k+n+\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(k+n-k)+n= \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}n+n \\ =(n-1)n+n=n^{2} $$

Kann mir jemand erklären, wie man auf (n-1)n+n kommt ?

Danke

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

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Was soll ich damit ? Inwiefern soll mir die Gaußsche Summenformel weiterhelfen ?

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Das versteh ich auch nicht wirklich.

Es gilt jedenfalls

\( \sum_{k=1}^{n-1}k + \sum_{k=1}^{n-1}(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1}(k+n-k) = \sum_{k=1}^{n-1}n = n(n-1) \)

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$$ \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^{n-1} (n-k) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \frac{(n-1)n}{2} + n = (n-1)n + n = n^2 $$

Man kann die zweite Summe umordnen und einsetzen.

Answer 1

$$( \sum\limits_{k=1}^{n-1}n)+n=(n+n+ \ldots +n)+n=(n-1)n+n$$

In der Klammer stehen genau (n-1) mal n. Da in der Summe ein n steht und kein k, summierst du da halt n-1 mal n auf.

LG

Comments

Ach so. Danke