Zeigen, dass die antisymmetrischen Matrizen einen Unterraum bilden

Question

Aufgabe:

\( V:=\mathbb{R}^{n \times n} \) ist selbst ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum wie wir wissen.

(a) Zeigen Sie dass die antisymmetrischen \( n \times n \) Matrizen (d.h. \( A^{T}=-A \) ) einen Unterraum \( U \) von \( V \) bilden

Problem/Ansatz:

kann mir jemand vlt die a) erklären verstehe nicht wie ich das denn zeigen kann bzw soll

Comments

Ich habe mir erlaubt, die erste Seite Deiner Anfrage zu löschen. Sie bestand aus einem leeren weißen Blatt. Das geht in der Kunst, ist aber zur gezielten Informationsvermittlung weniger gut.

Answer 1

Zu (a):

Überprüfe die Unterraumkriterien:

1. \(0 \in U\)

2. \(A,B\in U\Rightarrow A+B\in U\).

3. \(c\in \mathbb{R}, A\in U\Rightarrow c\cdot A \in U\).

Zu (b):

Sei \(E_{i,j}\) diejenige Matrix, die an der Stelle \((i,j)\)

eine 1 und sonst nur Nullen besitzt.

Dann ist

\(\{E_{1,2}-E_{2,1},\; E_{1,3}-E_{3,1}, \; E_{2,3}-E_{3,2}\}\)  eine Basis und

damit die Dimension = 3