Zeige, dass es zu jedem a∈G ein eindeutig bestimmtes b∈G gibt, so dass b^n = a.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und n∈ℕ mit ggT(n,ord(G)) = 1. Nun soll ich zeigen, dass es zu jedem a∈G ein eindeutig bestimmtes b∈G gibt, so dass bⁿ = a.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Existenz folgendermaßen gezeigt: Da ggT(n,ord(G)) = 1, ex. x,y∈ℤ mit x*ord(G) + y*n = 1. Sei also a∈G. Dann gilt:

a^{x*ord(G) + y*n} = a ⇔ (\( a^{x} \) )^ord(G) * (\( a^{y} \) )ⁿ = a ⇔ e * (\( a^{y} \) )ⁿ = a ⇔ (\( a^{y} \) )ⁿ = a.

Somit ex. solch ein b:= (\( a^{y} \) )ⁿ ∈G mit bⁿ = a.

Leider komme ich einfach nicht weiter bei der Eindeutigkeit. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke im Voraus.

Comments

Ich nehme an G ist endlich?

Betrachte die Abbildung

$$ G \to G,~ x \mapsto x^n $$

Du hast gezeigt dass diese Abbildung surjektiv ist.

Eine surjektive Abbildung zwischen gleichmächtigen endlichen Mengen ist automatisch bijektiv.

---

Perfekt. Danke. Also die Aufgabe wurde genau so gestellt. Geht aus ggT(n,ord(G)) = 1 hervor, dass G endlich ist? Weil man kann doch schwer den ggT von unendlich bestimmen.