Die Ordnung einer Gruppe G ist genau dann gerade, wenn es ein g aus G gibt mit g^2 = e.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe mit ord(G)∈ℕ (Also Ordung von G). Nun soll ich zeigen, dass ord(G) genau dann gerade ist, wenn es ein g∈G\{e} gibt mit g² = e.

Problem/Ansatz:

Die Rückrichtung habe ich bereits gezeigt. Nur bei der Hinrichtung habe ich noch Probleme. Ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen. Was ich bisher habe:

Da ord(G) gerade ist, ex. ein k∈ℕ mit 2k = ord(G). Dann kann G schon mal nicht nur die triviale Gruppe {e} sein, da diese Ordnung 1 hat. Somit existiert ein g∈G\{e}. Sei also g∈G\{e}. Dann gilt:
g^ord(G) = e ⇔ g^2k = e ⇔ (\( g^{k} \) )² = e. So nun habe ich g^k ∈ G, dass die Gleichung erfüllt. Nur sollte ich doch jetzt noch ausschließen, dass g^k = e ist, oder? Und da komm ich einfach nicht weiter. Vielen Dank im Voraus.

Comments

Der Fall ist ausgeschlossen, denn wenn g^k =E wäre, dann ist die Ordnung k und nicht 2k. Aber das darf nach der Voraussetzung nicht sein.

Answer 1

Nur sollte ich doch jetzt noch ausschließen, dass g^k = e ist, oder?

Ja. Aber das wird nicht zum Ziel führen, weil du keine sonstigen Anforderungen an \(g\) gestellt hast.

Stattdessen: die Menge \(\{\{p,q\}\subseteq G|\, q=p^{-1}\}\) ist eine Partition von \(G\). Sie hat ein einelementiges Element, nämlich \(\{e,e\}\). Ist \(\operatorname{ord} G\) gerade, dann muss sie noch ein weiteres einelementiges Element haben.