Für eine Gruppe (G,*) soll gezeigt werden, dass es genau ein neutrales Element gibt.

Question

Ist folgender Beweis richtig? (genau ein neutrales Element)

Fuer eine Gruppe (G,*) soll gezeigt werden, dass es genau ein neutrales Element gibt:

Angenommen e ist neutrales Element und e' ist ebenso neutrales Element in G.

Die Definition eines neutralen Elements lautet:

a*e=e*a=a

Fuer e gilt also:

a*e=e*a=a

Fuer e' gilt:

a*e'=e'*a=a

Es gilt also:

a*e=e*a=a=e'*a=a*e'

Insbesondere folgt nun: $$ a \cdot e=a \cdot e' \implies e=e' $$

Comments

Angenommen e ist neutrales Element und e' ist ebenso neutrales Element in G.

Das erste e musst du nicht annehmen. Das muss es gemäss Definition von Gruppen geben.

Angenommen e ist das neutrale Element von G und e' ist ebenso ein neutrales Element in G.

Du musst jetzt nur zeigen, dass es kein zweites neutralse Element gibt. Das hast du richtig gemacht.

https://www.mathelounge.de/67703/multiplikative-eindeutigkeit-multiplikativem-neutralem

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Angenommen e ist das neutrale Element von G und e' ist ebenso ein neutrales Element in G.

Die 1. Annahme bezieht sich auf die Bezeichnung e für das neutrale Element

Korrekter als der Fragesteller kann man es eigentlich nicht schreiben.

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Du verwendest hier eine Kürzungsregel (du kürzt das a von links), wenn ihr schon gezeigt habt, dass man das darf ist dein Beweis richtig. Ich würde es aber noch einfacher halten:

Seien e, e' neutrale Element in G, dann gilt

e = e * e' = e'

Fertig.

Bei beiden Gleichheitszeichen wurde die Definition eines neutralen Elements verwendet.

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Schön kurzer Beweis EmNero.

Weitere grundlegende Eigenschaften von Gruppen inkl. Beweise: https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Grundlegende_Eigenschaften_einer_Gruppe

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Ueber die Gruppe ist nichts weiter bekannt. Wie wuerde man denn die Kuerzungsregel nachweisen? Ich habe mir dabei gedacht, dass man einfach mit a^-1 multipliziert.

$$a*e=a*e' \implies a^-1 * a *e = a^-1 * a *e' \rightarrow e *e = e *e' \implies e=e'$$

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Hast du die Beweise im Wikipedialink oben schon mit deinem Ansatz verglichen?

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Achso das wird da ja genauso nachgewiesen.

Answer 1

Hallo lamop,

ja, das ist richtig.

Gruß Wolfgang