Zeige, dass es dann für jede der Gleichungen g ∗ x = h und x ∗ g = h genau ein x ∈ G gibt, welches die Gleichung erfüllt

Question

Sei (G,∗,e) eine Gruppe und g,h ∈ G. Zeige, dass es dann

für jede der Gleichungen
g ∗ x = h und x ∗ g = h
genau ein x ∈ G gibt, welches die Gleichung erfüllt. Gib ein konkretes Beispiel für eine Gruppe G und Elemente g, h ∈ G an so, dass die Lösungen der beiden Gleichungen nicht übereinstimmen.

Kann mir mal bitte jemand helfen? Ich verstehe die Aufgabe auch irgendwie gar nicht.

Answer 1

Hallo

a ) ist eine abelsche Gruppe ab=ba

eine Gegenbeispiel findest du  ei den meisten Matrizengruppen. ein Beispiel die Symmetriegruppe des Quadrates 2 Spiegelungen an der Diagonalen und Seitenhalbierenden ergibt eine Drehung um +90° oder -90° jenachdem Spiegels als woran du zuerst  spiegelst s1s2≠ s2s1

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Leider sagt mir Matrizen gar nichts, weil wir das Thema noch nicht hatten. Die Aufgabe müsste auf die ganzen Zahlen bezogen sein

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Du verwechselst ∀∃ mit ∃∀.

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Hallo siri

"Die Aufgabe müsste auf die ganzen Zahlen bezogen sein"

Verstehe ich nicht, was für Gruppen , die sich auf ganze Zahlen beziehen kennst du denn? Oder welche Gruppen überhaupt?

lul

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Ich meinte, dass unser großes Thema die ganzen Zahlen ist

Kann man ein Gegenbeispiel ohne Matrizen finden?

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Hallo

Noch mal was für Gruppen sind dir bekannt? und die Symmetriegruppe des Quadrates kann man ja ohne Matrizen beschreiben.

lul

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Wie schreibt man das dann ohne Matrizen?

Wir haben in der Vorlesung kommutative und symmetrische Gruppen/Permutationsgruppen behandelt. Ich hoffe, dass es das ist was du meinst

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Hallo

die Symmetriegruppe des Quadrates besteht aus den Drehungen um den Mittelpunkt um 90° und 180° und -90° und -180°

und die 4 Spiegelungen an den 2 Seitenhalbierenden  und den 2 Diagonalen

die kann man mit d(90) usw uns sh1, Sh2  Sd1Sd2 bezeichnen. Kommutative Gruppen willst du nicht, welche symmetrischen kennst du denn?

Bei Permutationen ist doch aber  auch P12*P13≠P13*P12

wobei P12 die Vertauschung von 1 mit 3 meint

das ist also auch ein Beispiel.

lul

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Danke für die Antwort! Das ist doch alles Geometrie, oder? Soweit sind wir auch noch nicht.

Symmetrische Gruppe S(A) = {f: A -> A | f bijektiv} mit der Verkettung als Verknüpfung und der identischen Abbildung als neutralem Element ist das einzige was wir zu symmetrischen Gruppen gemacht haben.

Also Permutationen sind nicht kommutativ ist mit deinem Beispiel gemeint?

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Hallo

ja , aber ich denk Permutationen habt ihr gemacht?

lul

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Ja, haben wir

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Also meine Überlegung ist jetzt, dass ich für g eine Permutation einsetze und für x auch und das Produkt von beiden bilde. Einmal halt g ◦ x und dann x ◦ g. Da werden ja unterschiedliche Ergebnisse rauskommen.

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Hallo

ja tu das.

lul

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ja tu das.

Es ist eine gute Rechenübung, aber es hat nur sehr indirekt mit der Aufgabenstellung zu tun.

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Was soll das Gast hj??

P12*P13≠P13*P12

denn P12*P13=P132; P13*P12=P123

lul

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Vielleicht hätte der Aufgabensteller in seinen beiden Gleichungen nicht beidesmal den Buchstaben x verwenden sollen.

Du denkst dir also zwei Permutatiionen g und h aus und findest zu diesen einmal ein x, das x*g = h erfüllt und dann ein y, das g*y = h erfüllt und zeigst zum Schluss, dass x ≠ y ist.

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Gast hj2166

So hab ich es am Ende doch gemacht, danke dir!