Ich gehe mal davon aus, dass es sich hier um das Lebesgue-Maß handelt.
(a)
\(\lambda_n\) und \(\lambda_{n+1}\) bezeichnen das \(n\)- bzw. \((n+1)\)-dimensionale Lebesgue-Maß .
\(A\) ist Nullmenge, also gibt es zu \(\epsilon>0\) eine Folge von n-dimensionalen Quadern \(Q_k \subset \mathbb R^n\), so dass
\(A \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \) und \(\lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <\epsilon\)
Nun sind \(Q_k^L = Q_k \times [0,L]\: (n+1)\)-dimensionale Quader mit
\(\lambda_{n+1}(Q_k^L) = L\cdot \lambda_n(Q_k )\).
Außerdem ist
\(A\times L \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L = \left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k\right) \times L \)
Damit gilt
\(\lambda_{n+1}\left(A\times L\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^L\right) = L\cdot \lambda_n\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \right) <L\cdot \epsilon \)
Also ist \(A\times [0,L]\) eine \(\lambda_{n+1}\)-Nullmenge.
(b)
\(\mathbb R^n\) kann mit abzählbar vielen Einheitsquadern \(Q_k,\: k\in\mathbb N\) überdeckt werden.
Betrachte nun \(Q_k^\epsilon = Q_k \times \left[0, \frac\epsilon{2^k}\right]\).
Offenbar ist
\(\mathbb R^n \times\{0\} \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon\)
Daraus folgt:
\(\lambda_{n+1}\left(\mathbb R^n \times\{0\}\right) \leq \lambda_{n+1}\left(\bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k^\epsilon\right) \leq \epsilon\sum_{k\in\mathbb N}\frac 1{2^k}=\epsilon \)
