zeigen, dass Nullmenge

Question

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass die Menge $$N:=\{ x \in X: f(x) = \infty \}$$ eine Nullmenge ist. Gegeben ist, dass $$f: X \rightarrow [0,\infty]$$ integrierbar ist.

Problem/Ansatz:

Hat jemand da vielleicht einen Ansatz für mich?

Answer 1

Hallo,

Die Aussage ergibt sich eigentlich direkt aus den Definitionen. Am besten geht es denke ich per Widerspruch.
Genauer: Kann $$\int_X f_+<\infty$$ gelten, wenn \(N\) keine Nullmenge ist?
(Dabei ist \(f_+:=\max(0,f)\))

Comments

Stimmt, macht Sinn.

Habe es die ganze Zeit ohne Widerspruch versucht und bin dabei nur in Sackgassen gelandet. So hat es jetzt aber ganz gut funktioniert (denke ich zumindest).

Danke :)

Answer 2

Man kann es vielleicht noch etwas konkreter formulieren. Dazu sei

$$A_n:=\{x \in X \mid f(x) \geq n\} \supe N$$

Dann gilt

$$n \mu(N) \leq n \mu(A_n)\leq \int _{A_n}f \leq \int f_{+} < \infty$$