Wahr oder falsch? Es gibt eine Gruppe mit Primzahlordnung, die nicht abelsch ist.

Question

Aufgabe:

Wahr oder falsch? Es gibt eine Gruppe mit Primzahlordnung, die nicht abelsch ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aussage falsch ist. Ich habe auch den Hinweis folgende Menge zu betrachten:

H_g := {a∈G | ga = ag} für g∈G. Nur weiß ich nicht ganz, wie ich das verwenden kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank im Voraus!

Comments

Gleiche Argumentation wie in deiner anderen Frage. Wenn ord(G)=p hat G nur zwei Untergruppen, nämlich die trivialen {e} und G. Für x≠e ist die von x erzeugte Untergruppe also <x>=G.

D.h. G ist zyklisch insb. abelsch.

Answer 1

Die von einem Element erzeugte Untergruppe ist abelsch. Eine Gruppe von Primzahlordnung hat nach dem Satz von Lagrange nur die trivialen Untergruppen.