Beweis, dass eine Gruppe abelsch ist.

Question

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe über Gruppen.

Ich soll beweisen dass eine Gruppe (G,*) mit ∀g∈G: g=g^-1 eine abelsche Gruppe ist.

Um dies zu zeigen müsste ich beweisen, dass die Gruppe assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt und ein inverses Element besitzt und kommutativ ist.

Ich weiß nur nicht wie ich das zeigen soll wenn ich keine genaue Verknüpfung * gegeben habe.

Wie sollte ich da denn vorgehen?

Comments

Es ist doch G bereits nach Voraussetzung eine Gruppe.
Also musst du nur die Kommutativität zeigen.

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Oh stimmt. Ich hab gar nicht dran gedacht, dass die ersten Beweise allgemein für Gruppen gelten. Aber irgendwie besteht mein Problem trotzdem noch wie ich die Kommutativität ohne eine genaue Verknüpfung zeigen soll.

Es heißt ja wenn für alle a,b∈G gilt a*b=b*a ist die Gruppe kommutativ. Aber wie genau zeige ich das dort?

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Diese Frage wurde schon mehrfach gestellt. Hier gibt es dazu gleich vier Antworten.

Answer 1

dass die Gruppe assoziativ ist

Die Gruppe ist assoziativ, weil Assoziativität eines der Gruppenaxiome ist.

ein neutrales Element besitzt

Die Gruppe besitzt ein neutrales Element, weil das eines der Gruppenaxiome ist.

und ein inverses Element besitzt

Die Gruppe besitzt zu jedem Element ein inverses Element, weil das eines der Gruppenaxiome ist.

und kommutativ ist.

Das gilt wegen

        \(\forall a,b\in G:(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)

und

        \(\forall g\in G: g=g^{-1}\).