Unbestimmtes Integral mit Eulerscher Substitution lösen

Question

Hallo

Kann jemand diese Frage lösen.

Text erkannt:

Aufgabe 2. (4 Punkte) Berechnen Sie das unbestimmte Integral
\( \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-x+1}} \)
mit der Eulerschen Substitution \( \sqrt{x^{2}-x+1}=x+t \).

Comments

Etwas einfacher wird's vielleicht, wenn nicht nach \(x\) umgestellt wird:$$\sqrt{x^2-x+1}=x+t\\\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}-1=\frac{2x-1}{2(x+t)}-\frac{2(x+t)}{2(x+t)}=-\frac12\cdot\frac{1+2t}{x+t}\\\begin{aligned}\int\frac1{\sqrt{x^2-x+1}}\,\mathrm dx&=\int\frac1{x+t}\cdot(-2)\cdot\frac{x+t}{1+2t}\,\mathrm dt\\&=-\int\frac2{1+2t}\,\mathrm dt\\&=-\log(1+2t)\\&=-\log(1-2x+2\sqrt{x^2-x+1}).\end{aligned}$$

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Zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Hallo,

es steht ja schon da, was du machen sollst. Substituiere \(x+t=\sqrt{x^2-x+1}\, (*)\). Du kannst dann \((*)\) nach \(x\) umstellen: Du erhältst dann \(x=\frac{1-t^2}{2t+1}\). Dann musst du dich um die Differentiale kümmern, es gilt:$$\mathrm{d}x=-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}\, \mathrm{d}t$$ Und insofern ich mich nicht verrechnet habe:$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-x+1}}=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\sqrt{\left(\frac{1-t^2}{2t+1}\right)^2-\frac{1-t^2}{2t+1}+1}}\, \mathrm{d}t=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\sqrt{\frac{(t^2+t+1)^2}{(2t+1)^2}}}\, \mathrm{d}t=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\frac{(t^2+t+1)}{(2t+1)}}\, \mathrm{d}t \\ =\int \frac{-2(2t+1)(t^2+t+1)}{(2t+1)^2(t^2+t+1)}\, \mathrm{d}t=-2\int \frac{1}{(2t+1)}\, \mathrm{d}t=-\log(2t+1),$$ wobei das letzte Integral eine lineare Substitution ist (oder man kennt den Integraltyp)

Jetzt noch Rücksubstituion.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde mir diese Substitution nicht merken, sie ist viel zu umständlich.

Stattdessen solltest du die folgenden 4 Grundintegrale kennen:$$\int\frac{dx}{1\green+x^2}=\arctan x\quad;\quad\int\frac{dx}{1\red-x^2}=\operatorname{arctan\red h}(x)$$$$\int\frac{dx}{\sqrt{1\green-x^2}}=\arcsin x\quad;\quad\int\frac{dx}{\sqrt{1\red+x^2}}=\operatorname{arcsin\red h}(x)$$

Damit ist dann (ohne Integrationskonstante):$$\small\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}=\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x-\frac12\right)^2+\frac34}}=\int\frac{\frac{2}{\sqrt3}dx}{\sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac12\right)\right)^2+1}}=\operatorname{arcsinh}\left(\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac12\right)\right)$$

Comments

Wenn in der Aufgabenstellung steht, dass man etwas mit der Euler-Substitution machen soll und es dann nicht macht, sollte man sich evtl. nicht wundern, warum es keine Punkte gibt. Auch wenn es anders evtl. sinnvoller oder leichter ist.

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Meines Wissens heißt es \(\operatorname{arsinh}(x)\) und \(\operatorname{artanh}(x)\).
Vgl. https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Areafunktionen.

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@Coach:

Tut mir leid, aber wenn ein Leerer bei einem Einzeiler-Integral einen so "kranken" Rechenweg vorgibt, muss ich das einfach korrigieren. Punkte hin oder her.

@Arsinoe:

Ich kenne beide Schreibweisen. Leider war keine von beiden hier im Latex vorgegeben. Daher habe ich das mit "operatorname" gelöst. Ist ja auch egal, denn jeder weiß, welche Funktion gemeint ist ;)

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Da ja bereits Antworten zur eulerschen Substitution gegeben wurden, finde ich Tschakabumbas Nachtrag sehr wertvoll. Das, was er es oben darstellt, ist eigentlich der Standardrechenweg für eine solche Aufgabe. Die eulersche Substitution hat allerdings denke ich trotzdem ihre Berechtigung, auch wenn man bei dem Beispiel leichter so verfährt wie Tschakabumba.

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Daher hatte ich auch einen Daumen vergeben. Wir wissen ja nicht, was sich der Dozent dabei gemacht hat, hier nach Euler zu substituieren. Allerdings wird es vermutlich einen Grund gehabt haben.