Integral obere Grenze unbekannt

Question

f(x) =  |x|cos $\frac{πx}{2}$

Ich habe hiervon die Stammfunktion berechnet und erhalte

F(x)= $\frac{2x (πxsin(πx/2)+2cos(πx/2)}{π^2|x|}$

Nun stoße hier auf ein Problem:

F(x)= $\int\limits_{-1}^{t}$ f(x) dx

Wie gehe ich hier vor mit dieser Unbekannten? Kann ich es als t für x berechnen und so bleiben lassen?

Comments

kann ich hier $\int\limits_{-1}^{0}$ und danach $\int\limits_{0}^{t}$ rechnen?

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F(x)= $\int\limits_{-1}^{t}$ f(x) dx

Das ist kein Problem. Das ist eine Gleichung. Was willst du mit der Gleichung machen?

Schau auch mal nach ob dort, wo Variablen stehen, die richtigen Variablen stehen.

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wie löse ich dann die Gleichung auf?

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Nach welcher Variable möchtest du die Gleichung auflösen, $x$ oder $t$?

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nach t möchte ich auflösen

Also es heißt F(t) nicht F(x) .. habe mich vertippt

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die genaue Aufgabenstellung steht weiter unten im Kommentar

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nach t möchte ich auflösen

Dann hast du die Aufgabenstellung nicht begriffen.

Gesucht ist die Integralfunktion zur unteren Grenze -1.

Answer 1

Deine Stammfunktion ist falsch. Eine Stammfunktion ist

        $F(x) = \begin{cases}{{2\left(\pi\sin \left({{\pi x}\over{2}}\right)+2\cos \left({{\pi x}\over{2}}\right)\right)-4}\over{\pi^2}}\cdot{{x}\over{\left| x\right| }}&\text{falls }x\neq 0\\0&\text{falls }x=0\end{cases}$.

Comments

woher kommt die minus 4

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das hat mir aber der integralrechner ausgespuckt, mir wurde schon öfter der ableitungsrechner empfohlen und das ist doch fast dasselbe ^^'

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Dein $F$ ist nicht differenzierbar, also keine Stammfunktion.

$f$ ist gerade, also muss $F$ punktsymmetrisch bezüglich des Punktes $(0| F(0))$ sein. Am einfachsten erreicht man das, indem man dafür sorgt, dass $F$ ungerade ist.

Dazu habe ich $g(x) = x\cos\frac{\pi x}{2}$ zu $G(x)$ integriert (n.b $g(x) = f(x)$ für alle $x>0$). Dann habe ich $G$ so verschoben, dass die Funktion durch den Ursprung verläuft und mit dem Faktor $\frac{x}{|x|}$ dafür gesorgt, dass $F(-x) = -F(x)$ ist.

Dann ist $\int\limits_{-1}^t f(x)\,\mathrm{d}x= F(t) - F(-1)$.

Answer 2

f(x) = ABS(x)·COS(pi/2·x)

F(x) = 2·SIGN(x)·(2·COS(pi·x/2) + pi·x·SIN(pi·x/2) - 2)/pi²

∫ (-1 bis t) f(x) dx = F(t) - F(-1) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi²

Interessant wäre die wirkliche Aufgabenstellung.

Also warum setzt man die Stammfunktion gleich dem Integral. Ich vermute das hast du dazu gedichtet?

Comments

Ja das habe ich dazu gedichtet ^^'

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktionen f(x)= |x|cos($\frac{π}{2}$ x)

Zu einer reellen Zahl t sei: F(t) $\int\limits_{-1}^{t}$ f(x)dx

Bestimmen Sie F(t)

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Ok. Dann habe ich das richtig verstanden und das obige sollte die Lösung sein.

Also

F(t) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi²

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kannst du das eventuell noch genauer erklären wie du darauf kommst

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Zunächst solltest du verstehen, wie man auf eine Stammfunktion kommt. Da könnte dir ein https://www.integralrechner.de/ helfen.

Dann ist F(t) die Integralfunktion zur unteren Grenze -1. Dh. Wenn du -1 in die Stammfunktion einsetzt, muss 0 herauskommen.

Dazu setzt du einfach mal -1 in die Stammfunktion ein und subtrahierst den Wert über die Integrationskonstante C.