Integral obere Grenze unbekannt

Question

f(x) =  |x|cos \( \frac{πx}{2} \)

Ich habe hiervon die Stammfunktion berechnet und erhalte

F(x)= \( \frac{2x (πxsin(πx/2)+2cos(πx/2)}{π^2|x|} \)

Nun stoße hier auf ein Problem:

F(x)= \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x) dx

Wie gehe ich hier vor mit dieser Unbekannten? Kann ich es als t für x berechnen und so bleiben lassen?

Comments

kann ich hier \( \int\limits_{-1}^{0} \) und danach \( \int\limits_{0}^{t} \) rechnen?

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F(x)= \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x) dx

Das ist kein Problem. Das ist eine Gleichung. Was willst du mit der Gleichung machen?

Schau auch mal nach ob dort, wo Variablen stehen, die richtigen Variablen stehen.

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wie löse ich dann die Gleichung auf?

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Nach welcher Variable möchtest du die Gleichung auflösen, \(x\) oder \(t\)?

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nach t möchte ich auflösen

Also es heißt F(t) nicht F(x) .. habe mich vertippt

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die genaue Aufgabenstellung steht weiter unten im Kommentar

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nach t möchte ich auflösen

Dann hast du die Aufgabenstellung nicht begriffen.

Gesucht ist die Integralfunktion zur unteren Grenze -1.

Answer 1

Deine Stammfunktion ist falsch. Eine Stammfunktion ist

        \(F(x) = \begin{cases}{{2\left(\pi\sin \left({{\pi x}\over{2}}\right)+2\cos \left({{\pi x}\over{2}}\right)\right)-4}\over{\pi^2}}\cdot{{x}\over{\left| x\right| }}&\text{falls }x\neq 0\\0&\text{falls }x=0\end{cases}\).

Comments

woher kommt die minus 4

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das hat mir aber der integralrechner ausgespuckt, mir wurde schon öfter der ableitungsrechner empfohlen und das ist doch fast dasselbe ^^'

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Dein \(F\) ist nicht differenzierbar, also keine Stammfunktion.

\(f\) ist gerade, also muss \(F\) punktsymmetrisch bezüglich des Punktes \((0| F(0))\) sein. Am einfachsten erreicht man das, indem man dafür sorgt, dass \(F\) ungerade ist.

Dazu habe ich \(g(x) = x\cos\frac{\pi x}{2}\) zu \(G(x)\) integriert (n.b \(g(x) = f(x)\) für alle \(x>0\)). Dann habe ich \(G\) so verschoben, dass die Funktion durch den Ursprung verläuft und mit dem Faktor \(\frac{x}{|x|}\) dafür gesorgt, dass \(F(-x) = -F(x)\) ist.

Dann ist \(\int\limits_{-1}^t f(x)\,\mathrm{d}x= F(t) - F(-1)\).

Answer 2

f(x) = ABS(x)·COS(pi/2·x)

F(x) = 2·SIGN(x)·(2·COS(pi·x/2) + pi·x·SIN(pi·x/2) - 2)/pi^2

∫ (-1 bis t) f(x) dx = F(t) - F(-1) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi^2

Interessant wäre die wirkliche Aufgabenstellung.

Also warum setzt man die Stammfunktion gleich dem Integral. Ich vermute das hast du dazu gedichtet?

Comments

Ja das habe ich dazu gedichtet ^^'

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktionen f(x)= |x|cos(\( \frac{π}{2} \) x)

Zu einer reellen Zahl t sei: F(t) \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x)dx

Bestimmen Sie F(t)

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Ok. Dann habe ich das richtig verstanden und das obige sollte die Lösung sein.

Also

F(t) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi^2

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kannst du das eventuell noch genauer erklären wie du darauf kommst

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Zunächst solltest du verstehen, wie man auf eine Stammfunktion kommt. Da könnte dir ein https://www.integralrechner.de/ helfen.

Dann ist F(t) die Integralfunktion zur unteren Grenze -1. Dh. Wenn du -1 in die Stammfunktion einsetzt, muss 0 herauskommen.

Dazu setzt du einfach mal -1 in die Stammfunktion ein und subtrahierst den Wert über die Integrationskonstante C.