Beweis polynom nullstelle

Question

Aufgabe:

Hallo kann mir vielleicht einer helfen, ich weiß nicht so ganz wie man dies beweisen soll

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( P \) ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Beweisen Sie für \( z \in \mathbb{C} \) die Aussage \( z \) Nullstelle von \( P \Longrightarrow \bar{z} \) Nullstelle von \( P \).

Comments

Diese Frage gab es schon mehfach, z.B. hier.

Answer 1

Zeige dass die Abbildung \(z\mapsto\overline{z} \) auf den komplexen Zahlen ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraumisomorphismus ist.

Comments

Ich weiß nicht, ob das reicht.
Ich denke eher, dass man benötigt, dass es ein
\(\mathbb{R}\)-Algebra-Isomorphismus ist.

Z.B. ist \(f(a+bi)=a+3bi\) auch ein \(\mathbb{R}\)-
Vektorraum-Isom..

Answer 2

Sei \(P=\sum_{i=0}^n a_iX^i\) und \(P(z)=0\),

wobei die \(a_i\) reell seien, also \(\overline {a_i}=a_i\). Dann ist

\(0=\overline{0}=\overline{\sum_{i=0}^n a_iz^i}=\sum \overline{a_iz^i}=\sum \overline{a_i}\cdot \overline{z}^i=\)

\(= \sum a_i\cdot \overline{z}^i=P(\overline{z})\).