Beweis polynom nullstelle

Question

Aufgabe:

Hallo kann mir vielleicht einer helfen, ich weiß nicht so ganz wie man dies beweisen soll

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei $P$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Beweisen Sie für $z \in \mathbb{C}$ die Aussage $z$ Nullstelle von $P \Longrightarrow \bar{z}$ Nullstelle von $P$.

Comments

Diese Frage gab es schon mehfach, z.B. hier.

Answer 1

Zeige dass die Abbildung $z\mapsto\overline{z}$ auf den komplexen Zahlen ein $\mathbb{R}$-Vektorraumisomorphismus ist.

Comments

Ich weiß nicht, ob das reicht.
Ich denke eher, dass man benötigt, dass es ein
$\mathbb{R}$-Algebra-Isomorphismus ist.

Z.B. ist $f(a+bi)=a+3bi$ auch ein $\mathbb{R}$-
Vektorraum-Isom..

Answer 2

Sei $P=\sum_{i=0}^n a_iX^i$ und $P(z)=0$,

wobei die $a_i$ reell seien, also $\overline {a_i}=a_i$. Dann ist

$0=\overline{0}=\overline{\sum_{i=0}^n a_iz^i}=\sum \overline{a_iz^i}=\sum \overline{a_i}\cdot \overline{z}^i=$

$= \sum a_i\cdot \overline{z}^i=P(\overline{z})$.