Additionstheorems für die Cosinusfunktion.

Question

Aufgabe Additionstheorems für die Cosinusfunktion.
(a) \( \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos (2 x)) \)
(b) \( \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=\cos (2 x) \).
(ii) Verwenden Sie die Eulersche Formel, um zu zeigen, dass
\( \cos ^{3}(x)=\frac{1}{4} \cos (3 x)+\frac{3}{4} \cos x \)
für \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x):=\exp (x)-\sin x \text { für } x \in \mathbb{R} \)
mindestens eine Nullstelle besitzt.

Answer 1

Die ersten beiden sind doch recht leicht. Die hatte ich neulich schon beantwortet.

Schau mal dort nach https://www.mathelounge.de/1017011

ii)

Hier steht ja schon das du es über die Eulersche Formel beweisen sollst. Probier das mal.

iii)

exp(x) - sin(x) = 0

exp(x) = sin(x)

Ich glaube ein blinder sieht das es hier also unendlich viele Nullstenne für x < 0 geben muss.

Denn 0 < exp(x) < 1 für x < 0 und es gibt unendlich viele stellen an denen der Sinus die Werte -1 und 1 annimmt. Und dazwischen gilt immer der Zwischenwertsatz.

Comments

ii)

COS(x)^3

= (1/2·e^(i·x) + 1/2·e^(- i·x))^3

= 1/8·e^(3·i·x) + 1/8·e^(- 3·i·x) + 3/8·e^(i·x) + 3/8·e^(- i·x)

= 1/4·(1/2·e^(3·i·x) + 1/2·e^(- 3·i·x)) + 3/4·(1/2·e^(i·x) + 1/2·e^(- i·x))

= 1/4·COS(3·x) + 3/4·COS(x)