Wahrscheinlichkeit dass 10. Wurf eines regelmäßigen Würfels wieder 6 ist, wenn vorherige 9 Würfe auch schon 6er waren?

Question

Aufgabe:

Ein regelmäßiger Würfel wird 10-mal geworfen. Die ersten 9 Augenzahlen sind
alle 6-er. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der letzte Wurf wieder ein 6-er
sein?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die bedingte Wahrscheinlichkeit gewesen,

A = (die ersten 9 Würfe sind 6er) = (1/6)^9

B = (letzter Wurf ist ein 6er) = 1/6

P(B|A) = P(B geschnitten A)/P(A) = (1/6)^9 / (1/6) = 1/6^8

Stimmt das so?

Comments

Jeder halbwegs intelligente Mensch würde bei 9 Sechsen hintereinander anzweifeln, dass es ein fairer Würfel ist. Da könnte man durchaus davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine 6 schon größer als 1/6 ist.

Daher eine kleine Zusatzfrage von mir. Wir groß müsste die Wahrscheinlichkeit für eine 6 sein, damit die Wahrscheinlichkeit 9 mal hintereinander eine 6 zu werfen auf 0,01% ansteigt.

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Neun Sechser hintereinander ist genauso wahrscheinlich oder unwahrscheinich wie beispielsweise das unverdächtige 6-1-5-4-1-3-2-5-4.

Das behauptet zumindest eine halbwegs intelligente Tochter.

Answer 1

\(P(B|A) = P(B) = \frac{1}{6}\) weil die Ergebnisse der einzelnen Würfe stochastisch unabhängig sind.

Man könnte natürlich auch

        \(\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\left(\frac{1}{6}\right)^{10}}{\left(\frac{1}{6}\right)^9} = \frac{1}{6}\)

rechnen. Aber das setzt

        \(P(A\cap B) = \left(\frac{1}{6}\right)^{10}\)

und

        \(P(A) = \left(\frac{1}{6}\right)^9\)

voraus, was nur dadurch gerechtfertigt werden kann, dass die Ergebnisse der einzelnen Würfe stochastisch unabhängig sind.

Comments

Aber wie berechnest du P(A geschnitten B) = (1/6)^10 ?

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((1/6)*(1/6)^9) / (1/6)^9 = 1/6

Das hat Oswald oben schon gezeigt. Einen kleinen Zwischenschritt hat er weggelassen.

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Ok, das heißt die richtige Lösung wäre dann (1/6)*(1/6)^9 / (1/6)^9 = 1/6

(d.h. meine erste Lösung von (1/6)^8 stimmt nicht?

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So ist es.

(1/6)^8 ist die WKT, 8-mal hintereinander eine 6 zu werfen.

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Ok, vielen Dank!!

Answer 2

Die WKT ist bei jedem Wurf 1/6, egal was vorausgeht.

Würfel haben kein Gedächtnis.

Man könnte hier vermuten, dass der Würfel gezinkt ist.

Comments

Mit gewöhnlichem "Zinken" (Einbau eines kleinen Stückchen Metalls) eines Würfels kann man sowas kaum erreichen. Viel einfacher wäre es, einen Würfel mit lauter Sechsern auf allen Seiten zu machen. Ein solcher Würfel wäre dann sogar sehr regelmäßig - aber halt nach einer anderen als der gewohnten "Regel" !