Orthogonalen im Dreieck schneiden sich (Äquivalenz)

Question

Aufgabe:

Es seien ABC ein euklidisches Dreieck und A'∈ BC (Strecke) B'∈ CA (Strecke) C'∈ AB (Strecke) Punkte auf den Dreiecksseiten. Weiter seien g_a , g_b , g_c die Orthogonalen zu den jeweiligen Dreiecksseiten durch die Punkte A', B' sowie C'.

Beh: g_a , g_b , g_c schneiden sich in einem Punkt ⇔ |AC'|² + |BA'|² + |CB'|² = |A'C|² + |B'A|² + |C'B|²

Problem/Ansatz:
Leider weiß ich nicht wie ich die Hin und Rückrichtung zeigen kann?

Da die Geraden nicht unbedingt die Mittelsenkrechten sind, ist der Schnittpunkt nicht unbedingt der Umkreismittelpunkt.

Bin über jede Hilfe dankbar

Comments

Ich bräuchte immer noch Hilfe bei der Aufgabe.

Freue mich über jeden noch so kleinen Tipp.

Answer 1

Hallo,

(die Frage ist mir irgendwie duchgerutscht, gut dass Du nochmal nachgehakt hast)

Tipp:

Stelle für jedes Paar von zwei rechtwinkligen Dreiecken (s. Bild) mit gemeinsamer Hypotenuse den (doppelten) Pythagoras auf. Zum Beispiel:$$CB'^2 + SB'^2 = A'C^2 + SA'^2$$Es entstehen drei Gleichungen aus denen alle Strecken, die den Schnittpunkt \(S\) enthalten, entfallen, wenn man sie zu einer Gleichung zusammen fasst.

Gruß Werner

Comments

Vom doppelten Pythagoras höre ich das erste mal.

Aber klingt sinnvoll ich werde mich damit nochmal genauer beschäftigen damit ich das richtig verstehe.

Vielen Dank :)

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Vom doppelten Pythagoras höre ich das erste mal.

ich auch :-) habe ich mir gerade ausgedacht! Da beide Dreicke die identische Hypotenuse haben, gilt:$$CB'^2 + SB'^2 = CS^2 \\ A'C^2 + SA'^2 = CS^2 \\ \implies CB'^2 + SB'^2 = A'C^2 + SA'^2$$

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Ach ja genau die Gleichheiten sind dann logisch. Okey vielen Dank, dass hilft mir auf jeden Fall weiter.