Kompakte Mengen formaler Beweis

Question

Aufgabe: Man kann zeigen, dass eine Menge K in C genau dann kompakt ist, wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in K liegt. Nutzen Sie dies, um zu zeigen, dass f(K) kompakt ist, falls K ⊆ M kompakt und f : M → R, M ⊆ R, stetig ist

Problem/Ansatz: Also es hört sich für mich logisch an und verstehe auch, dass wenn K kompakt ist, dann auch f(K) weil nach Stetigkeit ist es ja dann so definiert. Aber wie schreibt man dass formal sauber hin. So wie: Sei K eine Menge in C, so existieren konvergente Teilfolgen mit Grenzwert in K. Also ist  Definition von Stetigkeit erfüllt. Und dann ja noch zu zeigen: kompakt also abgeschlossen und beschränktes intervall

Answer 1

Betrachte eine beliebige Folge in \((y_n)\) in \(f(K)\), d.h.

es gibt eine Folge \((x_n)\) in \(K\) mit \(y_n=f(x_n)\) für

alle nat. Zahlen \(n\). Da \(K\) kompakt ist, besitzt \((x_n)\)

eine konvergente Teilfolge \((x_{i_k})\), etwa mit Grenzwert \(x\in K\).

Nun benutze das Folgenkriterium der Stetigkeit, um auf

die Konvergenz der Teilfolge \((y_{i_k})\) zu schließen.

Answer 2

Sei \((y_n)\) eine Folge in \(f(K)\).

Wir wählen in \(K\) zugehörige \(x_n\) mit \(f(x_n) = y_n\).

Da \(K\) kompakt ist, gibt es eine in \(K\) konvergente Teilfolge \(x_{n_k}\) mit

\(\lim_{k\to\infty}x_{n_k} = x\in K\).

Wegen der Stetigkeit von \(f\) gilt nun

\(\lim_{k\to\infty}y_{n_k} = \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}) = f(x) \in f(K)\).

Damit haben wir eine in \(f(K)\) konvergente Teilfolge von \(y_n\) gefunden.

Somit ist \(f(K)\) laut dem gegebenen Kriterium kompakt.