Es sind die Koordinaten x,y gesucht, so dass
\((x-1)^2+(y-2)^2\)
minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich
\(x^2+y^2 = 80\)
erfüllt sein muss.
Einfach Klammern auflösen und einsetzen:
\((x-1)^2+(y-2)^2 = x^2-2x+1 + y^2-4y+4\)
\(\stackrel{x^2+y^2=80}{=} 85-\color{blue}{(2x+4y)}\)
Nun ist aber \(\color{blue}{(2x+4y)}\) nichts anderes als das Skalarprodukt
\({\color{blue}{(2x+4y)}} = \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\).
Für Skalarprodukte gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU):
\(|2x+4y| \leq\sqrt{2^2+4^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}=40 \).
Also gilt
\(-40 \leq 2x+4y \leq 40\)
Laut CSU tritt Gleichheit ein, wenn
\(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}= t\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\)
Einsetzen in \(x^2+y^2 = 80\) gibt
\(4t^2+16t^2 = 80 \Leftrightarrow t=\pm 2 \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}\)
\(\Rightarrow\) Minimaler Abstand bei \(\boxed{\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}\)
\(\Rightarrow\) Maximaler Abstand bei \(\boxed{-\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}\)