Punkte auf {(x,y) : x^2+ y^2= 80} bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Punkte auf {(x,y) : x^2+ y^2= 80} die dem Punkt (1,2) am nächsten und am fernsten sind.

Answer 1

Aloha :)

Der Punkt \((x|y)\) hat vom Punkt \((1|2)\) den Abstand:\(\quad d=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}\)

Diesen Abstand sollen wir unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2=80\) optimieren.

Um die Wurzel loszuwerden, können wir auch das Quadrat des Abstands optimieren:$$f(x;y)=(x-1)^2+(y-2)^2\to\text{Extremum}\quad;\quad \green{g(x;y)=x^2+y^2=80}$$

Formal suchen wir die Extrema der Funktion \(f\) unter der konstanten Nebenbedingung \(g\). Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedinungen sein. Mit nur einen Nebenbedingung heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2(x-1)}{2(y-2)}=\lambda\binom{2x}{2y}$$

Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) los zu werden, dividieren wir die Gleichungen für die erste Koordinate durch die Gleichungen für die zweite kootdinate:$$\frac{2(x-1)}{2(y-2)}=\frac{\lambda\,2x}{\lambda\,2y}\implies\frac{x-1}{y-2}=\frac xy\implies y(x-1)=x(y-2)\implies \pink{y=2x}$$

Wir setzen die pinke Lagrange-Bedingung in die grüne Nebenbedinung ein:$$80=x^2+y^2=x^2+(2x)^2=5x^2\implies x=\pm4\implies y=\pm8$$

Wir haben also zwei Punkte mit extremalem Abstand von \((1|2)\) gefunden:$$P_1(-4|-8)\quad;\quad P_2(4|8)$$

Comments

Das ist eine einfache geometrische Aufgabe (siehe Mathecoach).

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Das ist eine einfache Rechenaufgabe (sieh Tschakabumba).

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@Tschakabumba, warum darf man auch Quadrat von Abstand maximieren?

Answer 2

Es sind die Koordinaten x,y gesucht, so dass

\((x-1)^2+(y-2)^2\)

minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich

\(x^2+y^2 = 80\)

erfüllt sein muss.

Einfach Klammern auflösen und einsetzen:

\((x-1)^2+(y-2)^2 = x^2-2x+1 + y^2-4y+4\)

\(\stackrel{x^2+y^2=80}{=} 85-\color{blue}{(2x+4y)}\)

Nun ist aber \(\color{blue}{(2x+4y)}\) nichts anderes als das Skalarprodukt

\({\color{blue}{(2x+4y)}} = \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\).

Für Skalarprodukte gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU):

\(|2x+4y| \leq\sqrt{2^2+4^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}=40 \).

Also gilt

\(-40 \leq 2x+4y \leq 40\)

Laut CSU tritt Gleichheit ein, wenn

\(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}= t\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\)

Einsetzen in \(x^2+y^2 = 80\) gibt

\(4t^2+16t^2 = 80 \Leftrightarrow t=\pm 2 \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}\)

\(\Rightarrow\) Minimaler Abstand bei \(\boxed{\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}\)

\(\Rightarrow\) Maximaler Abstand bei \(\boxed{-\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}\)

Comments

Das ist eine einfache geometrische Aufgabe (siehe Mathecoach).

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@Roland:
Und ich mag einfache analytische Lösungen :-D.

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@trancelocation: Ja, von hinten durchs Auge in die Brust.

Answer 3

Kannst du begründen das B der dichteste Punkt und C der entfernteste Punkt auf dem Kreis sind und die Punkite berechnen?