Punkte auf {(x,y) : x2+ y2= 80} bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Punkte auf {(x,y) : x²+ y²= 80} die dem Punkt (1,2) am nächsten und am fernsten sind.

Answer 1

Aloha :)

Der Punkt $(x|y)$ hat vom Punkt $(1|2)$ den Abstand:$\quad d=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$

Diesen Abstand sollen wir unter der Nebenbedingung $x^2+y^2=80$ optimieren.

Um die Wurzel loszuwerden, können wir auch das Quadrat des Abstands optimieren:$$f(x;y)=(x-1)^2+(y-2)^2\to\text{Extremum}\quad;\quad \green{g(x;y)=x^2+y^2=80}$$

Formal suchen wir die Extrema der Funktion $f$ unter der konstanten Nebenbedingung $g$. Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedinungen sein. Mit nur einen Nebenbedingung heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2(x-1)}{2(y-2)}=\lambda\binom{2x}{2y}$$

Um den Lagrange-Multiplikator $\lambda$ los zu werden, dividieren wir die Gleichungen für die erste Koordinate durch die Gleichungen für die zweite kootdinate:$$\frac{2(x-1)}{2(y-2)}=\frac{\lambda\,2x}{\lambda\,2y}\implies\frac{x-1}{y-2}=\frac xy\implies y(x-1)=x(y-2)\implies \pink{y=2x}$$

Wir setzen die pinke Lagrange-Bedingung in die grüne Nebenbedinung ein:$$80=x^2+y^2=x^2+(2x)^2=5x^2\implies x=\pm4\implies y=\pm8$$

Wir haben also zwei Punkte mit extremalem Abstand von $(1|2)$ gefunden:$$P_1(-4|-8)\quad;\quad P_2(4|8)$$

Comments

Das ist eine einfache geometrische Aufgabe (siehe Mathecoach).

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Das ist eine einfache Rechenaufgabe (sieh Tschakabumba).

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@Tschakabumba, warum darf man auch Quadrat von Abstand maximieren?

Answer 2

Es sind die Koordinaten x,y gesucht, so dass

$(x-1)^2+(y-2)^2$

minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich

$x^2+y^2 = 80$

erfüllt sein muss.

Einfach Klammern auflösen und einsetzen:

$(x-1)^2+(y-2)^2 = x^2-2x+1 + y^2-4y+4$

$\stackrel{x^2+y^2=80}{=} 85-\color{blue}{(2x+4y)}$

Nun ist aber $\color{blue}{(2x+4y)}$ nichts anderes als das Skalarprodukt

${\color{blue}{(2x+4y)}} = \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.

Für Skalarprodukte gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU):

$|2x+4y| \leq\sqrt{2^2+4^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}=40$.

Also gilt

$-40 \leq 2x+4y \leq 40$

Laut CSU tritt Gleichheit ein, wenn

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}= t\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}$

Einsetzen in $x^2+y^2 = 80$ gibt

$4t^2+16t^2 = 80 \Leftrightarrow t=\pm 2 \Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow$ Minimaler Abstand bei $\boxed{\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}$

$\Rightarrow$ Maximaler Abstand bei $\boxed{-\begin{pmatrix} 4\\8 \end{pmatrix}}$

Comments

Das ist eine einfache geometrische Aufgabe (siehe Mathecoach).

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@Roland:
Und ich mag einfache analytische Lösungen :-D.

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@trancelocation: Ja, von hinten durchs Auge in die Brust.

Answer 3

Kannst du begründen das B der dichteste Punkt und C der entfernteste Punkt auf dem Kreis sind und die Punkite berechnen?