Es sind die Koordinaten x,y,z gesucht, so dass
\(x^2+y^2+z^2 \quad (1)\)
minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich
\((2):\; x^2+y^2 = 1\) und \((3):\;x+y-z=1\)
erfüllt sein muss.
Einsetzen von (2) in (1) gibt:
\(x^2+y^2+z^2 \stackrel{x^2+y^2=1}{=} \boxed{1+z^2} \quad (4)\)
Wir müssen also nur noch das Minimum und Maximum von \(z^2\) unter den gegebenen Nebenbedingungen finden.
\((3) \Rightarrow z=x+y-1\)
Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU) gilt
\(|1\cdot x+ 1\cdot y| \leq \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt 2 \)
Also haben wir
\(-\sqrt 2 - 1 \leq z=x+y-1 \leq \sqrt 2 - 1\)
\(\Rightarrow\) Minimaler Abstand bei \(z=0\). D.h.,
\(\boxed{(x,y,z) = (1,0,0),\:(x,y,z) = (0,1,0)}\)
\(\Rightarrow\) Maximaler Abstand bei \(z=-(1+\sqrt 2)\). Das entspricht dem Eintreten der Gleichheit in der CSU auf der linken Seite: \(x = y = -\frac 1{\sqrt 2}\). D.h.,
\(\boxed{(x,y,z) = \left(-\frac 1{\sqrt 2},-\frac 1{\sqrt 2},-(1+\sqrt 2)\right) }\)