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Aufgabe:

Die Ebene x+y-z = 1 schneidet den Zylinder x^2+ y^2=1 in einer Menge E. Finde die Punkte in E,
die den kleinsten und den größten Abstand zum Ursprung (0,0,0) haben.

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Finde die Punkte in der Ebene

Du sollst die Punkte in der Menge finden.


Das CAS erzählt:

blob.png

2 Antworten

+1 Daumen

Es sind die Koordinaten x,y,z gesucht, so dass

\(x^2+y^2+z^2 \quad (1)\)

minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich

\((2):\; x^2+y^2 = 1\) und \((3):\;x+y-z=1\)

erfüllt sein muss.

Einsetzen von (2) in (1) gibt:

\(x^2+y^2+z^2 \stackrel{x^2+y^2=1}{=} \boxed{1+z^2} \quad (4)\)

Wir müssen also nur noch das Minimum und Maximum von \(z^2\) unter den gegebenen Nebenbedingungen finden.

\((3) \Rightarrow z=x+y-1\)

Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU) gilt

\(|1\cdot x+ 1\cdot y| \leq \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt 2 \)

Also haben wir

\(-\sqrt 2 - 1 \leq z=x+y-1 \leq \sqrt 2 - 1\)

\(\Rightarrow\) Minimaler Abstand bei \(z=0\). D.h.,

 \(\boxed{(x,y,z) = (1,0,0),\:(x,y,z) = (0,1,0)}\)

\(\Rightarrow\) Maximaler Abstand bei \(z=-(1+\sqrt 2)\). Das entspricht dem Eintreten der Gleichheit in der CSU auf der linken Seite: \(x = y = -\frac 1{\sqrt 2}\). D.h.,

\(\boxed{(x,y,z) = \left(-\frac 1{\sqrt 2},-\frac 1{\sqrt 2},-(1+\sqrt 2)\right) }\)

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Aloha :)

Die Ebene besteht aus den Punkten \(P(x|y|x+y-1)\). Wir suchen diejenigen dieser Punkte, die unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2=1\) extremalen Abstand vom Urpsrung haben. Um nicht mit der Wurzel rechnen zu müssen, können wir genauso gut das Quadrat des Abstandes optimieren.$$d(x;y)=x^2+y^2+(x+y-1)^2\to\text{Extremum}\quad;\quad \green{g(x;y)=x^2+y^2=1}$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion \(d(x;y)\) eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}d(x;y)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad} g(x;y)\implies\binom{4x+2y-2}{2x+4y-2}=\lambda\binom{2x}{2y}$$

Um den Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Gleichung der ersten Koordinaten durch die der zweiten Koordinate:$$\frac{4x+2y-2}{2x+4y-2}=\frac{\lambda\,2x}{\lambda\,2y}\implies\frac{2x+y-1}{x+2y-1}=\frac xy\implies y(2x+y-1)=x(x+2y-1)$$$$\implies2xy+y^2-y=x^2+2xy-x\implies y^2-y=x^2-x\implies y^2-x^2=y-x$$$$\implies(y-x)(y+x)=y-x\implies \pink{y=x}\;\lor\;\pink{x+y=1}$$

Die beiden Lagrange-Bedingungen wenden wir auf die Nebenbedinung an:$$\pink{y=x}\implies\green{1=x^2+y^2}=x^2+x^2=2x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\;\land\;y=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$Diese Lagrange-Bedinung liefert uns zwei Extremalpunkte.

$$\pink{x+y=1}\implies(x+y)^2=1\implies \green{x^2}+2xy+\green{y^2}=\green1\implies 2xy=0$$$$\phantom{x+y=1}\implies x=0\;\lor\;y=0\implies (x=0\;\land\;y=1)\;\lor\;(x=1\;\land\;y=0)$$Diese Lagrange-Bedingung liefert zwei weitere Extremalpunkte.

Wir fassen die vier gefundenen Lösungen zusammen:$$P_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\bigg|\frac{1}{\sqrt2}\bigg|\sqrt2-1\right)\;;\;P_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\sqrt2-1\right)\;;\;P_3(0|1|0)\;;\;P_4(1|0|0)$$

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