Finde die Punkte in der Ebene

Question

Aufgabe:

Die Ebene x+y-z = 1 schneidet den Zylinder x^2+ y^2=1 in einer Menge E. Finde die Punkte in E,
die den kleinsten und den größten Abstand zum Ursprung (0,0,0) haben.

Comments

Finde die Punkte in der Ebene

Du sollst die Punkte in der Menge finden.

Das CAS erzählt:

Answer 1

Es sind die Koordinaten x,y,z gesucht, so dass

\(x^2+y^2+z^2 \quad (1)\)

minimal bzw. maximal wird, wobei zussätzlich

\((2):\; x^2+y^2 = 1\) und \((3):\;x+y-z=1\)

erfüllt sein muss.

Einsetzen von (2) in (1) gibt:

\(x^2+y^2+z^2 \stackrel{x^2+y^2=1}{=} \boxed{1+z^2} \quad (4)\)

Wir müssen also nur noch das Minimum und Maximum von \(z^2\) unter den gegebenen Nebenbedingungen finden.

\((3) \Rightarrow z=x+y-1\)

Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU) gilt

\(|1\cdot x+ 1\cdot y| \leq \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt 2 \)

Also haben wir

\(-\sqrt 2 - 1 \leq z=x+y-1 \leq \sqrt 2 - 1\)

\(\Rightarrow\) Minimaler Abstand bei \(z=0\). D.h.,

 \(\boxed{(x,y,z) = (1,0,0),\:(x,y,z) = (0,1,0)}\)

\(\Rightarrow\) Maximaler Abstand bei \(z=-(1+\sqrt 2)\). Das entspricht dem Eintreten der Gleichheit in der CSU auf der linken Seite: \(x = y = -\frac 1{\sqrt 2}\). D.h.,

\(\boxed{(x,y,z) = \left(-\frac 1{\sqrt 2},-\frac 1{\sqrt 2},-(1+\sqrt 2)\right) }\)

Answer 2

Aloha :)

Die Ebene besteht aus den Punkten \(P(x|y|x+y-1)\). Wir suchen diejenigen dieser Punkte, die unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2=1\) extremalen Abstand vom Urpsrung haben. Um nicht mit der Wurzel rechnen zu müssen, können wir genauso gut das Quadrat des Abstandes optimieren.$$d(x;y)=x^2+y^2+(x+y-1)^2\to\text{Extremum}\quad;\quad \green{g(x;y)=x^2+y^2=1}$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion \(d(x;y)\) eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}d(x;y)\stackrel!=\lambda\operatorname{grad} g(x;y)\implies\binom{4x+2y-2}{2x+4y-2}=\lambda\binom{2x}{2y}$$

Um den Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Gleichung der ersten Koordinaten durch die der zweiten Koordinate:$$\frac{4x+2y-2}{2x+4y-2}=\frac{\lambda\,2x}{\lambda\,2y}\implies\frac{2x+y-1}{x+2y-1}=\frac xy\implies y(2x+y-1)=x(x+2y-1)$$$$\implies2xy+y^2-y=x^2+2xy-x\implies y^2-y=x^2-x\implies y^2-x^2=y-x$$$$\implies(y-x)(y+x)=y-x\implies \pink{y=x}\;\lor\;\pink{x+y=1}$$

Die beiden Lagrange-Bedingungen wenden wir auf die Nebenbedinung an:$$\pink{y=x}\implies\green{1=x^2+y^2}=x^2+x^2=2x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\;\land\;y=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$Diese Lagrange-Bedinung liefert uns zwei Extremalpunkte.

$$\pink{x+y=1}\implies(x+y)^2=1\implies \green{x^2}+2xy+\green{y^2}=\green1\implies 2xy=0$$$$\phantom{x+y=1}\implies x=0\;\lor\;y=0\implies (x=0\;\land\;y=1)\;\lor\;(x=1\;\land\;y=0)$$Diese Lagrange-Bedingung liefert zwei weitere Extremalpunkte.

Wir fassen die vier gefundenen Lösungen zusammen:$$P_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\bigg|\frac{1}{\sqrt2}\bigg|\sqrt2-1\right)\;;\;P_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\sqrt2-1\right)\;;\;P_3(0|1|0)\;;\;P_4(1|0|0)$$