Ich ergänze mal diese Antwort, da bisher keiner auf deine Frage eingegangen ist.
Bisher hast du die gegebene Kongruenz äquivalent umgeformt auf
\(13x \equiv_{21} 12\)
Nun möchtest du diese Kongruenz mit Hilfe des EEA lösen.
Der EEA wird benutzt, um eine Zahl g zu finden, so dass
\(13g \equiv_{21} 1\).
Es wird also das multiplikative Inverse von 13 modulo 21 gesucht.
Da ggT(13,21) = 1, gibt es laut Lemma von Bézout Zahlen g,h, so dass
\(13g + 21h = 1 \Leftrightarrow 13g \equiv_{21} 1 \Leftrightarrow g \equiv_{21} 13^{-1}\).
Genau hier kommt der EEA ins Spiel, denn der EA liefert zunächst einen Satz von Gleichungen, die den ggT(13,21)=1 liefern.
\(\begin{array}{rcl} 21 & = & 13 + 8 \\ 13 & = & 8 + 5 \\ 8 & = & 5 + 3 \\ 5 & = & 3 + 2 \\ 3 & = & 2 + \boxed{1} \end{array}\)
Der EEA beinhaltet nun das rückwärts Auflösen dieses Satzes von Gleichungen, so dass du am Ende eine Gleichung der Form
\(13g + 21h = 1\) erhältst:
\(\begin{array}{rclcl} \boxed{1} & = & 3 - 2 &&\\ & = & 3 - (5-3) &=& -5 +2\cdot 3 \\ & = & -5 + 2\cdot (8-5)& =& 2\cdot 8 - 3\cdot 5 \\ & = & 2\cdot 8 - 3\cdot (13-8) & = & -3\cdot 13 + 5\cdot 8\\ & = & -3\cdot 13 + 5\cdot (21-13) & = & \boxed{5\cdot 21 {\color{blue}{-8}} \cdot 13}\end{array}\)
Damit haben wir
\(-8\equiv_{21}13^{-1}\).
Also
\(13x \equiv_{21} 12 \Leftrightarrow \)
\(x \equiv_{21} -8\cdot 13 x \equiv_{21} -8 \cdot 12 \equiv_{21} -96 \equiv_{21} 9\)
Die Lösung der Kongruenz ist also
\(\boxed{x \equiv_{21} 9}\).
