Hier ist ein möglicher Weg. Alle Inversen, die ich benutze, kannst du natürlich auch per EEA ermitteln. Solang die Zahlen nicht zu groß sind, gelingt es oft, die Inversen durch "scharf gucken" und "kleinem Einmaleins" zu bestimmen:
Erst einmal erste und dritte Kongruenz simultan per China-Dingsbums lösen:
$$M = 120 \Rightarrow x= 3\cdot \left[15\right]_8^{-1}\cdot 15 + 1\cdot \left[8\right]_{15}^{-1}\cdot 8$$
Die Inversen:
$$15 = 2\cdot 8 -1 \Rightarrow \left[15\right]_8^{-1} \equiv -1 \: (8)$$
$$2\cdot 8 = 16 = 15+1 \Rightarrow \left[8\right]_{15}^{-1} \equiv 2\: (15)$$
Inverse einsetzen und ausrechnen.
Teillösung: \(\boxed{x \equiv -29 \equiv 91 \: (120) \quad (1)}\).
Nun nehmen wir die übrige Kongruenz dazu und blasen sie auf den Modul 120 auf:
$$x\equiv 11\:(20) \Leftrightarrow \boxed{6x \equiv 66 \: (120) \quad (2)}$$
$$(1) + (2)\Rightarrow \boxed{7x\equiv 157\equiv 37 \: (120)\quad (3)}$$7 ist teilerfremd mit 120. Wir brauchen also nur noch \( \left[7\right]_{120}^{-1} \):
$$7\cdot 17 = 119 \equiv -1\: (120) \Rightarrow \boxed{\left[7\right]_{120}^{-1} \equiv -17\: (120) \quad (4)}$$
$$(3),(4) \Rightarrow x\equiv (-17)\cdot 37 \stackrel{720-629=91}{\equiv}\boxed{91\: (120)}$$
