Aufgabe:
Text erkannt:
1) Berechne den Winkel \( \varphi=\angle P Q R \) mithilfe von \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \).
2) Erkläre, welchen Winkel \( \varphi^{\prime} \) man erhält, wenn man den Vektor \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) irrtümlich mit \( \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \) ansetzt.
Lösung:
1) \( P(2 \mid 3), Q(1 \mid 1), R(4 \mid 2) \)
\( \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\left(\begin{array}{l} 2-1 \\ 3-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \quad \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\left(\begin{array}{l} 4-1 \\ 2-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \\ \cos (\varphi)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}=\frac{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=0,707 \ldots \Rightarrow \varphi=\arccos (0,707 \ldots)=45^{\circ} \end{array} \)
Problem/Ansatz:
Wieso wurde hier die Punkten QP und QR ausgewählt?
Hätte ich einen flachen Winkel bekommen, wenn ich anderen Punkten genommen hätte?
Kann jemand mir das erklären? Danke im voraus!
