Winkel zwischen beiden Vektoren mittels Skalarprodukt und Kreuzprodukt herausfinden

Question

Aufgabe:

a=(2,3,-7) b=(2,-5,1)

Ich soll mit diesen beiden Vektoren den Winkel mittels Skalarprodukt und kreuzprodukt herausfinden.

Problem/Ansatz:

Wenn ich es mittel Skalar Produkt berechne komme ich auf -0,4173650062.Welches durch arccos ca. 114,67 grad entspricht.
Wenn ich es aber mittels Kreuzprodukt bereche komme ich auf 0,9087389348 welches durch arcsin 65, 33 Grad entspricht. Was stimmt nun ? warum komme ich nicht aufs selbe?

Answer 1

mit Skalarprodukt:

\(φ = arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = arccos \frac{2\cdot2-3\cdot5-7\cdot1}{\sqrt{2^2+3^2+7^2}\cdot\sqrt{2^2+5^2+1^2}}\)

mit Kreuzprodukt:

\(sin \, φ = \frac{|\vec{a}\times \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}}{\sqrt{2^2+3^2+7^2}\cdot\sqrt{2^2+5^2+1^2}}\)

Comments

Ich komme damit auf dasselbe wie Du.

Einmal ist es der stumpfe Winkel, einmal der spitze Winkel. Die Summe der beiden Winkel beträgt 180°.

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Einmal ist es der spitze Winkel, einmal der stumpfe.

Es kann nur einen geben.

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Tatsächlich.

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Ich dächte auch, dass der Winkel gleich sein muss. Was ist nun die richtige Antwort, bzw. wo liegt mein Fehler ?

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Ich weiß es nicht.

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Es gibt (von 90° abgesehen) zwei Winkel zwischen 0° und 180° mit dem gleichen Sinuswert. Die arcsin-Funktion kennt keine Werte über 90°.

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Danke Abakus.

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Also sind beide werte, obwohl sie unterschiedliche Zahlen werte haben richtig bzw gleich ?

Wäre eine richtige Erläuterung, zu zeigen der der Sinus von 114,67 grad den selben wert hat wie der ausgerechnete Wert von der Kreuzprodukt Variante Und dann zu sagen, obwohl die Wert unterschiedlich sind ist die Lösung richtig weil der Arcsin keinen Wert über 90 grad anzeigt.

Oder kann man das eleganter erklären ?

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Ich würde es so erklären. Rot ist das Argument der arccos-Funktion, grün das Argument der arcsin-Funktion.

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Es tut mir wirklich leid, ich stelle mich etwas schwierig an dies, zu verstehen.

Könnten sie nochmal in Worte fassen, wieso gerade 114,67 grad richtig obwohl ich diesen Winkel mittels Kreuz Produkt nicht raus bekomme?

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Oder kann man das eleganter erklären ?

Na ja ... probiere ich es mal. Das Kreuzprodukt sagt ja lediglich, dass der Sinus des Winkels \(\varphi\) zwischen den beiden Vektoren$$\sin(\varphi) = 8 \sqrt{\frac{2}{155}} \approx 0,9087$$beträgt - mehr nicht!

Dann werfe mal einen Blick auf den Einheitskreis und zeichne den Sinuswert dort ein:

zeichnet man die Waagerechte (schwarz) bei \(\sin(\varphi) \approx 0,9087\) ein, so schneidet diese den Einheitskreis an zwei(!) Stellen. D.h. es sind zwei Winkel, für die gilt \(\sin(\varphi) \approx 0,9087\).

Das Kreuzprodukt macht also keine Aussagen darüber welcher von beiden der 'richtigere' ist!

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Bei der Berechnung des Winkels mit der Kreuzprodukt-Methode rutscht Du von der y-Achse der grünen Linie entlang nach rechts, bis Du auf die Sinus-Funktion (khakifarbene Linie) kommst. Der erste Schnittpunkt ist falsch, aus dem Grund den Abakus erklärt hat.

Bei der Berechnung des Winkels mit der Skalarprodukt-Methode rutscht Du von der y-Achse der roten Linie entlang nach rechts, bis Du auf die Cosinus-Funktion (blaue Linie) kommst. Da gibt es nur einen Schnittpunkt im Bereich 0° bis 180°, unabhängig vom Wert des Arguments.

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... das gilt natürlich genauso für den Cosinus. Auch hier hat man zwei WInkel. In Deinem Fall einmal 114,67° und einmal -114,67°. In beiden Fällen ergibt sich der gleiche Wert für den Cosinus.

Da Du aber im Dreidimensionalen keine 'Vorzugsdrehrichtung' hast, werden hier Winkel zwischen Vektoren (oder Ebenen) nur im Bereich von 0° bis 180° angegeben. Und diesen Bereich deckt der Cosinus (im Gegensatz zum Sinus!) eindeutig ab.

Im Zweidimensionalen hast Du eine 'Vorzugsdrehrichtung'. Hier kannst Du Winkel zwischen -180° bis +180° (oder 0° bis 360°) eindeutig angeben. Dann sind Skalar- und Kreuzprodukt von Nöten, um den Winkel eindeutig zu bestimmen.

Siehe dazu auch atan2.

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Ahh also kann ich dann sagen, das ich mit dem cosinus den richtigen Winkel weiß, da er ja den Bereich von 0-180 abdeckt.

Und dadurch muss der Arcsin an der Stelle 0,9087 den Winkel 114,67 im Gegensatz zu 65 haben.

Vielen Dank für die Antworten !

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Bei Deinem ersten Satz würde ich "Cosinus" durch Arcuscosinus ersetzen, und "er ... abdeckt" durch etwas mit "eindeutig".

Beim zweiten Satz finde ich ich die Aussage auch schwierig. Der Arcussinus von 0,9087 ist 65,33 Grad. Aber der Sinus von 114,67 Grad ist auch 0,9087.