Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren p und q

Question

Aufgabe:

Die Vektoren u und \( \underline{\mathrm{v}} \) schließen den Winkel \( \varphi \) ein. \( | \)
\[
\overline{|\mathbf{u}}|=\sqrt{3} ;| \overline{\mathbf{v}} |=1 ; \varphi=\frac{\pi}{6}
\]
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren p und q.
\[
\overline{\mathbf{p}}=\overline{\mathbf{u}}+\overline{\mathbf{v}} ; \overline{\mathbf{q}}=\overline{\mathbf{u}}-\overline{\mathbf{v}}
\]

Winkel und beträge gegeben wie komme ich an die Vektoren? Komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter, soll ich den Vektor u einfach mit (1,0) schätzen? Wie komme ich dann zum zweiten Vektor?

Comments

Den Vektor u mit [1, 0] schätzen macht keinen Sinn. Man kann höchstens v = [1, 0] annehmen.

Du kennst dann den Winkel zwischen den Vektoren von pi/6 = 30 Grad und die Länge von √3.

Damit kann man den zweiten Vektor u schreiben als

u = [√3·COS(pi/6), √3·SIN(pi/6)] = [3/2, √3/2]

Answer 1

u und v spannen ein Parallelogramm auf. Die Diagonalen e und f lassen sich mit dem Cosinussatz berechnen

f = √(1^2 + √3^2 - 2·1·√3·COS(pi/6)) = 1

e = √(1^2 + √3^2 - 2·1·√3·COS(pi - pi/6)) = √7

Den Winkel den die halben Diagonalen einschließen lässt sich jetzt auch mit dem Cosinussatz bestimmen.

γ = arccos((a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b))

γ1 = ARCCOS(((1/2)^2 + (√7/2)^2 - 1^2) / (2·(1/2)·(√7/2))) = 40.89339464

γ2 = 180 - 40.89339464 = 139.1066053

Das könnte man mal zeichnerisch prüfen. Ebenso, könnte man das mit Werten durchgerechnete Schema eventuell mal verallgemeinern.