Aloha :)
Wenn du den binomischen Lehrsatz$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^na^{n-k}b^k$$mit \(a=1\) und \(b=x\) verwendest, erhältst du$$(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^k$$
Der einzige Term, den man darin \(n\)-mal ableiten kann ist \(\binom{n}{n}x^n=x^n\).
Bei jedem Ableiten fällt der jeweilige Exponent als Faktor nach vorne:$$x^n\to n\cdot x^{n-1}\to n(n-1)\cdot x^{n-2}\to n(n-1)(n-2)\cdot x^{n-3}\to\cdots$$Daher ist die \(n\)-te Ableitung von \((1+x)^n\) gleich \(n!\)
