Differenzierbarkeit in Punkten

Question

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe bekommen.

$$\text{(i) Zeigen Sie nur mit Definition 16.2.1, dass die Funktion }\\f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R},x \mapsto x^{3/2},\text{in jedem beliebigen Punkt }x_0 \in (0, \infty) \text{ differenzierbar ist.}\\\text{Ist f in 0 rechtsseitig differenzierbar?}\\ \text{(ii) Betrachten Sie die Funktion } g:(-\infty,2)\rightarrow \mathbb{R},\\g (x) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & \textrm{für} -\infty<x\leq0, \\x^2 & \textrm{für 0 < x}\leq1, \\\sqrt{1-(x-1)^2} & \textrm{für 1 < x < 2} \\\end{array}\right. \\\text{und untersuchen Sie, in welchen Punkten }x_0 \in (-\infty,2) \text{ die Funktion g differenzierbar ist.}$$

Bezüglich der Definition von Aufgabe (i): Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese hochladen darf, deswegen eine kurze Beschreibung:

Definition 16.2.1:

(i)

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

$$\text{Differenzenquotient von f in }x_0 \text{und x.}$$

(ii)

$$\text{Wir sagen, dass f in }x_0 \text{differenzierbar ist, wenn der Grenzwert \\ }\lim \limits_{\substack{\ x \to x_0\\x \neg x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \text{in R existiert.}$$

Bei beiden Aufgaben bin ich mir unsicher, wie ich diese Lösen soll.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

(i)  Sei xo ∈ (0;∞). Dann ist für x→xo auch x∈ (0;∞) anzunehmen.

Und es gilt:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{x^{\frac{3}{2}}-x_0^{\frac{3}{2}}}{x-x_0}  $$

$$= \frac{(x^{\frac{3}{2}}-x_0^{\frac{3}{2}})\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})}{(x-x_0)\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})} = \frac{x^3-x_0^3}{(x-x_0)\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})} $$

$$= \frac{x^2+x\cdot x_0 +x_0^2}{x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}}} $$

und für x→xo gibt das als Grenzwert$$ \frac{3x_0^2}{2x_{0}^{\frac{3}{2}} }=\frac{3}{2}x_{0}^{\frac{1}{2}}$$

Comments

Vielen Dank!

Bezüglich der (ii):

Soll man diese mit linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerten lösen, wie auch zum Beispiel bei der Stetigkeit? Oder gibt es dort ein anderes Verfahren?

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Aber nat. Grenzwert des Differenzenquotienten.

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Ok ich glaube ich hab es jetzt verstandne