Bestimmen Sie die kleinste σ-Algebra auf Ω

Question

Aufgabe:

Bei dem Spiel setzt der Spieler einen Euro und zieht dann eine Karte vom Skatstapel, wobei Ω der resultierende Satz gezogener Karten ist (Ergebnismenge). Wenn sie ein Ass zieht, erhält sie zwei Euro (ihren Einsatz und einen Euro), wenn sie eine Zahlenkarte zieht, verliert sie ihren Einsatz, wenn sie einen Buben, eine Dame oder einen König zieht, erhält sie Ihren Einsatz zurück. Bestimmen Sie die kleinste σ-Algebra auf Ω, sodass die das Spiel beschreibende Funktion X: Ω → Ω′ = {−1, 0, 1} eine Zufallsvariable im Ereignisraum Ω′, P(Ω′) ist. Außerdem gebe noch die Verteilung von X an!

Problem/Ansatz:

So wie ich das aus dem Internet rauslesen konnte, ist σ-Algebra quasi ein Mengensystem also ein Menge von Mengen. Außerdem konnte ich auch auch herrausfinden das wenn eine σ-Algebra bestimmte Mengen enthält, dann enthält sie auch deren Komplemente, abzählbare Vereinigungen und abzählbare Schnitte.

Trotz des Wissens was ich mir zusammengesucht habe weiß ich trotzdem nicht ganz wie ich an diese Aufgabe herangehen soll und wie ich sie möglichst von der Notation richtig aufschreibe.

Answer 1

Wenn sie ein Ass zieht, erhält sie zwei Euro

Das heißt das Urbild von "erhält sie zwei Euro" muss in der σ-Algebra sein.

Also muss die Menge aller Asse in der σ-Algebra.

wenn sie eine Zahlenkarte zieht,

Die Menge aller Zahlkarten ist in der σ-Algebra.

wenn sie einen Buben, eine Dame oder einen König zieht

Die Menge aller Buben Damen und Könige ist in der σ-Algebra.

wenn eine σ-Algebra bestimmte Mengen enthält, dann enthält sie auch deren Komplemente, abzählbare Vereinigungen und abzählbare Schnitte.

Zusätzlich zu den drei oben genannten Mengen der σ-Algebra musst du weitere Mengen zur σ-Algebra hinzufügen, so dass diese Bedingungen erfüllt sind.