Aloha :)
Wir möchten eine Funktion \(f\) unter 2 konstanten Nebenbedingungen \(g\) und \(h\) optimieren.$$f(x;y;z)=5x+y-3z\;;\; g(x;y;z)=x+y+z=0\;;\;h(x;y;z)=x^2+y^2+z^2=1$$
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\,\operatorname{grad} g(x;y;z)+\mu\,\operatorname{grad}h(x;y;z)\quad\implies$$$$\begin{pmatrix}5\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}$$Da der linke Vektor von den beiden rechten Vektoren linear abhängt, müssen alle 3 Vektoren in einer Ebene liegen. Das heißt, das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen muss null sein. Allgemein gibt der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die \(n\) Spaltenvektoren aufspannen. Daher muss die Determinante aus den 3 Vektoren verschwinden.
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}5 & \pink1 & \green2x\\1 & \pink1 & \green2y\\-3 & \pink1 & \green2z\end{array}\right|=\green2\left|\begin{array}{rrr}5-\pink1 & 1 & 2x\\1-\pink1 & 1 & 2y\\-3-\pink1 & 1 & 2z\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrr}\pink4 & \pink1 & \pink x\\0& 1 & y\\-4 & 1 & z\end{array}\right|$$$$\phantom0=2\left|\begin{array}{rrr}\pink4 & \pink1 & \pink x\\0& 1 & y\\-4+\pink4 & 1\pink+1 & z\pink+x\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrr}4 & 1 & x\\0& 1 & y\\0 & 2 & x+z\end{array}\right|$$$$\phantom0=2\cdot4\cdot(x+z-2y)\quad\implies\quad\pink{x+z=2y}$$
Wir setzen die pinke Lagrange-Bedingung in die beiden konstanten Nebenbedingungen ein:$$0=g(x;y;z)=x+y+z=(x+z)+y=2y+y=3y\implies y=0$$
Wegen \((y=0)\) wird die Lagrange-Bedingung zu \((x+z=0)\) bzw. \((z=-x)\).
Das bedeutet, eingesetzt in die zweite Nebenbedingung:$$1=x^2+y^2+z^2=x^2+0^2+(-x)^2=2x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$
Damit haben wir zwei Extremstellen gefunden:$$P_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\right)\quad;\quad P_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\bigg|+\frac{1}{\sqrt2}\right)$$
Diese Punkte in \(f(x;y;z)\) eingesetzt liefert die beiden gesuchten Extremwerte:$$f(\vec p_1)=4\sqrt2\quad;\quad f(\vec p_2)=-4\sqrt2$$
